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[科普中国]-谢尔宾斯基三角形

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谢尔宾斯基三角形(英语:Sierpinski triangle)是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子。它的豪斯多夫维是log(3)/log(2) ≈ 1.585。

构造去掉中心1.取一个实心的三角形。(多数使用等边三角形)

2.沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形。

3.去掉中间的那一个小三角形。

4.对其余三个小三角形重复1。

取一个正方形或其他形状开始,用类似的方法构作,形状也会和谢尔宾斯基三角形相近。1

Chaos Game用随机的方法(Chaos Game),都可得到谢尔宾斯基三角形:

任意取平面上三点A,B,C,组成一三角形

任意取三角形ABC内的一点P,画出 该点

画出 P和三角形其中一个顶点的中点

重复1

L系统下图展示了曲线如何逼近谢尔宾斯基三角形。

这条曲线以L系统来记述为:

变量: A , B 常数: + , - 公理: A 规则: A → B-A-B B → A+B+A A,B : 向前

- : 左转60°

+ : 右转60°

其他先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用黑色三角形代表挖去的面积,那么白三角形为剩下的面积(我们称白三角形为谢尔宾斯基三角形)。如果用上面的方法无限连续地作下去,则谢尔宾斯基三角形的面积越趋近于零,而它的周长越趋近于无限大(如图)。

若设操作次数为n(每挖去一次中心三角形算一次操作),则剩余三角形面积公式为:4的n次方分之3的n次方。

将边长为1的等边三角形区域,均分成四个小等边三角形,去掉中间一个,然后再对每个小等边三角形进行相同的操作得……,这样的操作不断继续下去直到无穷,最终所得的极限图形称为谢尔宾斯基垫片。谢尔宾斯基垫片的极限图形的面积趋于零,而小图形的数目趋于无穷,作为小图形的边的线段数目趋于无穷,实际上是一个线集。操作n次后边长r=(1/2)n,三角形个数N(r)=3 n,根据公式N(r)=1/rD,3n=2Dr,D=ln3/ln2=1.585。所以谢尔宾斯基垫片是1.585。它比普通的一维直线占据了更多空间,但还是没有二维正方形占据的那么多,可以用等比数列的知识求出他的面积是0。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学