[科普中国]-埃伯莱因-斯穆良定理

埃伯莱因-斯穆良定理是揭示巴拿赫空间的子集弱紧与弱序列紧相同的重要定理。

简介埃伯莱因-斯穆良定理是揭示巴拿赫空间的子集弱紧与弱序列紧相同的重要定理。

巴拿赫空间的子集是相对弱紧的当且仅当它是相对弱序列紧的。特别地，巴拿赫空间的子集是弱紧的当且仅当它是弱序列紧的。1

上述定理是埃伯莱因(Eberlein,F.)和斯穆良(mulian,V.)于1947年得到的，它在泛函分析中有着广泛的应用。

弱紧一个集称为弱紧的是指它的关于τ(X,X*)的任一开集族的覆盖有有限子覆盖。一个集称为弱∗紧的是指它的关于τ(X*,X)的任一开集族的覆盖有有限子覆盖。

由于弱开集必是开集，故紧蕴涵弱紧。同样，在X*上，紧蕴涵弱紧且弱紧蕴涵弱∗紧。

推论：设X是Banach空间：

(1)X中弱紧集必是有界的弱闭集，从而必是有界的闭集；

(2)X*中弱∗紧集必是有界的弱∗闭集，从而必是有界的闭集。2

弱序列紧赋范空间X的子集A叫做紧的，如果A中的每个点列包含一个子序列，该子序列在X中收敛到A中的一个元素．紧集是闭有界集，但闭有界集不一定是紧的，除非X是有限维的。

A叫做准紧的，如果其闭包Ā（在范数拓扑下）是紧的。

A叫做弱序列紧的，如果A中的每个序列包含一个子序列，该子序列在X中弱收敛到A中的一点。3

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学