[科普中国]-布斯乘法算法-

布斯乘法算法是计算机中一种利用数的2的补码形式来计算乘法的算法。该算法由安德鲁·唐纳德·布斯于1950 年发明，当时他在伦敦大学伯克贝克学院做晶体学研究。布斯曾使用过台式计算器，由于用这种计算器来做移位计算比加法快，他发明了该算法来加快计算速度。布斯算法在计算机体系结构学科中备受关注。

算法描述对于 N 位乘数 Y，布斯算法检查其2的补码形式的最后一位和一个隐含的低位，命名为 y[i-1] ，初始值为 0 。对于 y[i], i = 0, 1, ..., N - 1，考察 y[i] 和 y[i - 1 ]。当这两位相同时，存放积的累加器 P 的值保持不变。当 y[i] = 0 且 y[i - 1] = 1 时，被乘数乘以 2^i 加到 P 中。当 y[i]= 1 且 y[i - 1] = 0 时，从 P 中减去被乘数乘以 2^i 的值。算法结束后， P 中的数即为乘法结果。

该算法对被乘数和积这两个数的表达方式并没有作规定。一般地，和乘数一样，可以采用2的补码方式表达。也可以采用其他计数形式，只要支持加减法就行。这个算法从乘数的最低位执行到最高位，从 i = 0 开始，接下来和 2^i 的乘法被累加器 P 的算术右移所取代。较低位可以被移出，加减法可以只在 P 的前 N 位上进行。1

典型实现布斯算法的实现，可以通过重复地在 P 上加两个预设值 A 和 S 其中的一个，然后对 P 实施算术右移。设 m 和 r 分别为被乘数和乘数，再令 x 和 y 分别为 m 和 r 中的数字位数。

确定 A 和 S 的值，以及 P 的初始值。这三个数字的总长度应等于( x + y + 1 )：

对于 A ，以 m 的补码值填充前x位（最靠左的位），用零填满剩下的( y + 1 )位；

对于 S ，以( - m )的补码值填充前x位，用零填满剩下的( y + 1 )位；

对于 P ：用0填满最左的 x 位，将 r 的值附加在尾部；最右一位用零占位（辅助位，当i=0时i-1=-1,指的就是这个辅助位）；

考察 P 的最右两位：

如果等于 01，求出 P + A 的值，忽略上溢；

如果等于 10，求出 P + S 的值，忽略上溢；

如果等于 00，不做任何运算，在下一步中直接采用 P 的值；

如果等于 11，不做任何运算，在下一步中直接采用 P 的值。

对第 2 步中得到的值进行算术右移一位，并将结果赋给 P ；

重复第 2 步和第 3 步，一共做 y 次；

舍掉 P 的最右一位，得到的即为 m 和 r 的积。

换另一种说法：把前x位用一个单独的数R0表示，中间y位用另一个数R1表示，辅助位用Z表示在这里，要通过重复的把R0加上m或者减去m来得到结果。具体如下：初始值R0=0,R1=r.Z=0,此时来考查yi和yi-1这两位，在这里就是m的最后一位和Z的值。这里要说下为什么每次看的都是这两位了。在下边每次运算后都会把R0,R1,Z中的值右移一次，RO的最后一位移入R1的高位，R1的最后一位移入Z。这里要注意的是在右移R0时，如果他的最高位是1,则移位后最高位用1填充，如果最高位是0，移位后最高位用0填充。接下来要按m的最后一位和Z的值来判断怎么加减了：

如果为01,则R0+m，进位忽略。然后R0,R1,Z右移一位，再下一步判断，直到把R1的每一位都判断过后为结束

如果为10,则R0-m，借位忽略（只要x位的R0的值）。然后R0,R1,Z右移一位，再下一步判断，直到把R1的每一位都判断过后为结束

如果为00或是11,则R0的值保持不变。然后R0,R1,Z右移一位，再下一步判断，直到把R1的每一位都判断过后为结束

最后是结果，结果就是R0并上R1的值。比如R0=3,R1=25,结果就是325.

注意：在实际应用中，“减去m”多用“加上-m”来代替。2

算法原理考虑一个由若干个0包围着若干个1的正的二进制乘数，比如00111110，积可以表达为：

其中，M代表被乘数。变形为下式可以使运算次数可以减为两次：

事实上，任何二进制数中连续的1可以被分解为两个二进制数之差：

因此，我们可以用更简单的运算来替换原数中连续为1的数字的乘法，通过加上乘数，对部分积进行移位运算，最后再将之从乘数中减去。它利用了我们在针对为零的位做乘法时，不需要做其他运算，只需移位这一特点，这很像我们在做和99的乘法时利用99=100−1这一性质。这种模式可以扩展应用于任何一串数字中连续为1的部分（包括只有一个1的情况）。那么，

布斯算法遵从这种模式，它在遇到一串数字中的第一组从0到1的变化时（即遇到01时）执行加法，在遇到这一串连续1的尾部时（即遇到10时）执行减法。这在乘数为负时同样有效。当乘数中的连续1比较多时（形成比较长的1串时），布斯算法较一般的乘法算法执行的加减法运算少。1

本词条内容贡献者为:

杨明 - 副教授 - 西南大学