[科普中国]-阿克曼函数

阿克曼函数（Ackermann）是非原始递归函数的例子。它需要两个自然数作为输入值，输出一个自然数。它的输出值增长速度非常快，仅是对于(4,3)的输出已大得不能准确计算。

历史1920年代后期，数学家大卫·希尔伯特的学生Gabriel Sudan和威廉·阿克曼，当时正研究计算的基础。Sudan发明了一个递归却非原始递归的Sudan函数。1928年，阿克曼又独立想出了另一个递归却非原始递归的函数。[1]

他最初的念头是一个三个变量的函数A(m,n,p)，使用康威链式箭号表示法是m→n→p。阿克曼证明了它是递归函数。希尔伯特在On the Infinite猜想这个函数不是原始递归函数。阿克曼在On Hilbert's Construction of the Real Numbers证明了这点。

后来Rózsa Péter和拉斐尔·米切尔·罗宾逊定义了一个类似的函数，但只用两个变量。1

定义Ackermann函数定义如下： 若m=0，返回n+1。

若m>0且n=0，返回Ackermann(m-1,1)。

若m>0且n>0，返回Ackermann(m-1,Ackermann(m,n-1))。2

意义从Ackermann函数的定义中可以看出，Ackermann函数可以看成关于n的一个函数序列，其中第0个函数返回n+1，而第m个函数则是将第m-1个函数对1迭代n+1遍。对较小的m，该函数为：

Ackermann(0,n)=n+1

Ackermann(1,n)=n+2

Ackermann(2,n)=2*n+3

Ackermann(3,n)=2^(n+3)-3

Ackermann(4,n)=2^2^2^……^2-3，乘幂中共有n+3个2。

当m≥4，Ackermann函数的增长快得惊人。Ackermann(4,0)=13，Ackermann(4,1)=65533，Ackermann(4,2)=2^65536-3有19729位，而Ackermann(4,3)则即使是位数也不易估计。Ackermann(5,0)=65533，Ackermann(5,1)=Ackermann(4,65533)……2

反函数单变量反Ackermann函数（简称反Ackermann函数）α(x)定义为最大的整数m使得Ackermann(m,m)≤x。从上面的讨论中可以看到，因为Ackermann函数的增长很快，所以其反函数α(x)的增长是非常慢的，对所有在实际问题中有意义的x，α(x)≤4，所以在算法时间复杂度分析等问题中，可以把α(x)看成常数。

α(x)出现在使用了按秩合并和路径压缩的并查集算法的时间复杂度中。1

计算代码递归算法int ack(int m,int n){

while(m!=0){

if( n==0) n=1;

}else{

n=ack(m, n-1);

m--;

}

return n+1;

}

非递归算法一int Ackermann(int m,int n)

{

int akm[m][n];

int i,j;

memset(akm,o,sizeof(akm));

for(j=0;j