[科普中国]-西尔维斯特方程

西尔维斯特方程（Sylvester equation）是控制理论中的矩阵方程。

定义西尔维斯特方程（Sylvester equation）是控制理论中的矩阵方程，形式如下：

其中A、B及C是已知的矩阵，问题是要找出符合条件的X。其中所有矩阵的系数都是复数。为了要使方程成立，矩阵的行和列需要满足一定条件，A和B都要是方阵，大小分别是n和m，而X和C要是n行m列的矩阵，n和m也可以相等，四个矩阵都是大小相同的方阵。

西尔维斯特方程有唯一解X的充份必要条件是A和-B没有共同的特征值。

AX+XB=C也可以视为是（可能无穷维中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要条件几乎相同：唯一解X的充份必要条件是A和-B的谱互为不交集。1

解的存在及唯一 利用克罗内克积以及向量化量子，可以改写西尔维斯特方程为

其中 为 单位矩阵。在此形式下，可以将问题改为 维的线性系统。

命题

假定复数的 矩阵 和 ，西尔维斯特方程针对任意 有唯一解，若且唯 若 和 没有共同的特征值。

证明

考虑线性转换 ，

(i)假设 和 没有共同的特征值，则其特征方程式 和 的最大公因式为 ，因此存在复数多项式 和 ，使得 。依照Cayley–Hamilton定理， ；因此 。令 为 的解，则 ，重复上述作法，可得 。因此依照秩－零化度定理， 是可逆的，因此针对所有的 都存在唯一的解 。

(ii) 相对的，若假设 是 和 的共同特征值，则 也是 的特征值。存在非零向量 和 使得 以及 。选择 使得 ，向量的元素是 的共轭复数，则 没有解 ，因为复数的双线性pairing ，等号的右边为正值，而左侧为零。2

Roth消去法则假设二个大小分别为n和m的方阵A和B，以及大小为n乘m的矩阵C，则可以确认以下二个大小为n+m的方阵 和

是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C，换句话说，X为西尔维斯特方程的解，这称为Roth消去法则（Roth's removal rule）。

可以用以下方式检查，若AX-XB=C，则

Roth消去法则无法延伸到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中。1

数值解西尔维斯特方程数值解的经典算法是Bartels–Stewart算法，利用QR算法将矩阵 和矩阵 转换为舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此算法若用LAPACK计算，或是GNU Octave的lyap函数计算，计算复杂度是 个数学运算。也可以参考其中的sylvester函数。在一些特定的影像处理应用中，西尔维斯特方程会有解析解。2

本词条内容贡献者为:

李斌 - 副教授 - 西南大学