[科普中国]-模糊映射不动点

模糊映射不动点(fixed points of fuzzy mapping)是集值映射不动点概念的一种推广。设F(X)表示X上的所有模糊集组成的集合，映射F： X→F(X)称为模糊映射。若x∈X满足x∈F(x)，即F(x)·(x)=1，则称x是模糊映射F的不动点。

模糊映射不动点理论的研究，最早开始于1981年海尔泼恩(Heilpern)的工作。

介绍模糊映射不动点(fixed points of fuzzy mapping)模糊映射不动点是集值映射不动点概念的一种推广。设F(X)表示X上的所有模糊集组成的集合，映射F： X→F(X)称为模糊映射。若x∈X满足x∈F(x)，即F(x)·(x)=1，则称x是模糊映射F的不动点。

模糊映射不动点理论的研究，最早开始于1981年海尔泼恩(Heilpern)的工作。1

集值映射集值映射亦称多值映射。拓扑学的一个基本概念。从集合X到集合Y的集值映射是一个对应关系F，使得X的每个元素x对应着Y的一个非空子集F(x)。F(x)称为x在F下的像，记为F：X→Y。特别地，当每点的像都恰由一点组成时，F是单值映射，即通常的映射。当：2

时，称F为X到Y上的集值映射。

自冯·诺伊曼(von Neumann，J.)将集值映射不动点理论应用于博弈论之后，集值映射理论在邻近学科中的应用日益广泛。近50年来一直是十分活跃的邻域。1969年5月在纽约州的布法罗市召开了集值映射的国际会议，更引起了邻近学科工作者的广泛重视。

推广——模糊映射不动度模糊映射不动度是集值映射的不动点和模糊映射不动点概念的一种推广。设F为X上的一个模糊映射，即从X到F(X)的映射，F(X)表示X上所有模糊集组成的集合，记F(x)=Fx。如果Fx(x)=α。则称x关于模糊映射F的不动度为α，记为Dfix(x，F)=α。特别地，当Dfix(x，F)=1时，则称x为模糊映射F的不动点；若存在x*∈X，使得：

Fx*(x*)= max{Fx*(x)}，

则称F在x*处有极大的不动度。3

拓扑学拓扑学是数学的一个分支。常常被形象地比喻但却并不准确地说成是研究图形在空间中连续形变下的不变性质。“互锁”是三维封闭曲线的一个拓扑性质。我们不能在不切割其中之一的条件下把两个互相扣结的橡皮圈分开 (切割，是一个不连续形变)。但如像康德(Kant)着重指出的，即使直观地来看，这种描述性的定义也是太狭獈。尽管在一付手套中，左手戴的那只与右手戴的那只没有什么根本不同，但在三维空间中却无法把其中的一个经过连续形变变成另一个。进一步来说，也没有什么理由一定要把讨论的范围局限在三维空间之内，或者甚至是局限在必须要有维数的空间之内。对于一个一般的拓扑空间来讲，所必须的只是一条： 即应该有一个关联于它的闭性 (或者邻域)的概念。从一个空间到另一空间的连续函数或者连续映射必须保持闭性。一个可逆(双向) 的连续映射称为同胚。拓扑学就是研究拓扑空间在同胚映射下保持不变的性质 (确实存在一个从三维空间到其自身之上的同胚映射，它把一只右手手套映为一只左手手套)。

一般拓扑学关心的是在一般的拓扑空间或稍微特殊一点的拓扑空间中图形 (通常是任意的点集) 的性质。它所研究的是例如极限、连通性等概念。它的定理并不深入但却有很广的应用。

拓扑学中最有力最漂亮的定理是对于某些特殊的并可能还有一些附带结构的拓扑空间中比较有限的图形而得出的。因为，在这种情况下有可能建立某种构架或者复合形 (例如，用一个由三角形组成的网络去复盖一个空间) 去表示 (在组合拓扑学中) 或者去逼近 (在代数拓扑学中) 这种图形，从而可以在其上应用数值方法或代数方法。就像在解析几何学中那样，对几何内涵的探索可以通过或多或少的常规计算来实现。(解析拓扑学企图不借助于代数而去寻求结果，这是反常的)。4

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学