[科普中国]-布雷森汉姆直线演算法

布雷森汉姆直线算法（英语：Bresenham's line algorithm）是用来描绘由两点所决定的直线的算法，它会算出一条线段在n维位图上最接近的点。这个算法只会用到较为快速的整数加法、减法和位元移位，常用于绘制电脑画面中的直线。是计算机图形学中最先发展出来的算法。

经过少量的延伸之后，原本用来画直线的算法也可用来画圆。且同样可用较简单的算术运算来完成，避免了计算二次方程式或三角函数，或递归地分解为较简单的步骤。

以上特性使其仍是一种重要的算法，并且用在绘图仪、绘图卡中的绘图芯片，以及各种图形程式库。这个算法非常的精简，使它被实作于各种装置的固件，以及绘图芯片的硬件之中。

“Bresenham”至今仍经常作为一整个算法家族的名称，即使家族中绝大部分算法的实际开发者是其他人。该家族的算法继承了Bresenham的基本方法并加以发展，详见参考资料。

演算方法假设我们需要由(x0,y0)这一点，绘画一直线至右下角的另一点(x1,y1)，x,y分别代表其水平及垂直坐标，并且x1-x0>y1-y0。在此我们使用电脑系统常用的坐标系，即x坐标值沿x轴向右增长，y坐标值沿y轴向下增长1。

因此x及y之值分别向右及向下增加，而两点之水平距离为 且垂直距离为 。由此得之，该线的斜率必定介乎于1至0之间。而此算法之目的，就是找出在 之间，第x行相对应的第y列，从而得出一像素点，使得该像素点的位置最接近原本的线。

对于由(x0,y0)及(x1,y1)两点所组成之直线，公式如下：

因此，对于每一点的x，其y的值是

因为x及y皆为整数，但并非每一点x所对应的y皆为整数，故此没有必要去计算每一点x所对应之y值。反之由于此线之斜率介乎于1至0之间，故此我们只需要找出当x到达那一个数值时，会使y上升1，若x尚未到此值，则y不变。至于如何找出相关的x值，则需依靠斜率。斜率之计算方法为 。由于此值不变，故可于运算前预先计算，减少运算次数。

要实行此算法，我们需计算每一像素点与该线之间的误差。于上述例子中，误差应为每一点x中，其相对的像素点之y值与该线实际之y值的差距。每当x的值增加1，误差的值就会增加m。每当误差的值超出0.5，线就会比较靠近下一个映像点，因此y的值便会加1，且误差减1。

下列伪代码是这算法的简单表达（其中的plot(x,y)绘画该点，abs返回的是绝对值）。虽然用了代价较高的浮点运算，但很容易就可以改用整数运算（详见最佳化一节）：

function line(x0, x1, y0, y1) int deltax := x1 - x0 int deltay := y1 - y0 real error := 0 real deltaerr := deltay / deltax int y := y0 for x from x0 to x1 plot(x,y) error := error + deltaerr if abs (error) ≥ 0.5 then y := y + 1 error := error - 1.0一般化虽然以上的算法只能绘画由左下至右上，且斜率小于或等于1的直线，但我们可以扩展此算法，使之可绘画任何的直线2。第一个扩展是绘画反方向，即由右上至左下的直线。这可以简单地透过在x0 > x1时交换起点和终点来做到。第二个扩展是绘画斜率为负的直线。可以检查y0≥y1是否成立；若该不等式成立，误差超出0.5时y的值改为加-1。最后，我们还需要扩展该算法，使之可以绘画斜率绝对值大于1的直线。要做到这点，我们可以利用大斜率直线对直线y=x的反射是一条小斜率直线的事实，在整个计算过程中交换x和y，并一并将plot的参数顺序交换。扩展后的伪代码如下：

function line(x0, x1, y0, y1) boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0) if steep then swap(x0, y0) swap(x1, y1) if x0 > x1 then swap(x0, x1) swap(y0, y1) int deltax := x1 - x0 int deltay := abs(y1 - y0) real error := 0 real deltaerr := deltay / deltax int ystep int y := y0 if y0 abs(x1 - x0) if steep then swap(x0, y0) swap(x1, y1) if x0 > x1 then swap(x0, x1) swap(y0, y1) int deltax := x1 - x0 int deltay := abs(y1 - y0) int error := deltax / 2 int ystep int y := y0 if y0