[科普中国]-希尔伯特边值问题

希尔伯特边值问题是寻求区域内的解析函数使得它在区域边界上满足某些边界条件的问题。也有人将希尔伯特边值问题称为黎曼-希尔伯特边值问题。

简介希尔伯特边值问题是寻求区域内的解析函数使得它在区域边界上满足某些边界条件的问题。也有人将希尔伯特边值问题称为黎曼-希尔伯特边值问题。

定义设L是某区域G的边界曲线，L的正向取成使G在其正（左）侧。求 G 中的解析函数Φ(z)，使其在 L上的边值Φ+(t)满足条件其中γ(t)为已知函数，f(t)为已知实函数，此问题称为希尔伯特边值问题。1

解析函数区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ(x，y)与流函数Ψ(x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函数，这一命题的逆命题也成立。

柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学