[科普中国]-抽象线性系统

抽象线性系统(abstract linear system)是线性系统概念的一种推广。线性系统的系统过程满足叠加原理时的一种模式。在这类系统中，当系统无控制作用时，其过程的和及常数倍均仍为系统的过程。

介绍抽象线性系统(abstract linear system)是线性系统概念的一种推广。若A为任一域，X，Y为A上的线性代数，关系S⊂X×Y设为非空，此外设：

1.s，s′∈S→s+s′∈S;

2.s∈S，α∈A→αs∈S′，

则S为一线性系统的充分必要条件为：存在全局响应函数R∶C×X→Y使得：C是A上之线性代数；存在线性映射R1∶C→Y; R2∶X→Y，使对所有(c，x)，有R(c，x)=R1(c)+R2(x)。

利用这一概念，可以把已有线性系统的丰富成果推广而用于若干非传统的问题。1

线性系统系统过程满足叠加原理时的一种模式。在这类系统中，当系统无控制作用时，其过程的和及常数倍均仍为系统的过程。在有控制作用时，由初值与控制共同决定的过程可以分解为由具初值但零控制决定的过程与对应控制但零初值决定的过程之和。在系统的数学描述方法上，这类系统常由一状态满足的线性方程附加一线性控制所构成，系统的输出也只线性地依赖于系统的状态与控制。

从用数学描述系统的类型分，线性系统有：用常系数线性微分方程描述的定常连续线性系统；用常系数差分迭代方程描述的定常离散线性系统；用变系数线性微分(差分)方程描述的时变连续(离散)线性系统；用线性偏微分方程和积分方程描述的分布参数线性系统；用线性随机微分方程描述的随机线性系统以及方程中含有状态的时间滞后量的时滞线性系统等。

定常连续线性系统是理论发展最为完善且应用广泛的一类系统，除用微分方程组描述的状态空间模式外，也有基于拉普拉斯变换的传递函数矩阵模式。后者由于可借助频率特性进行讨论而为工程界所钟爱.这类系统无论是结构性质(能控性、能观测性、能镇定性等)、稳定性及二次性能指标的最优控制均已有完整的理论，其研究工具主要是线性代数和与拉普拉斯变换有关的复变函数理论。近年来主要关心的课题是为抑制系统中含有的不确定性和干扰而发展起来的线性鲁棒控制，包括H∞理论和具参数不确定性的鲁棒控制理论等。

时变线性系统由于研究工具的不足，虽然在理论上可以得到与定常线性系统相近的一系列结论，但无论是这些结论的判定还是应用，困难均很大。比较有效的是基于时变线性方程解的形式进行估计或利用李亚普诺夫方法进行研究，其中一些只是近似的或有一定保守性的充分条件。

分布参数线性系统研究的主要对象是讨论无穷维线性系统，应用线性泛函分析工具可以从理论上讨论一些基本问题。但由于在无穷维与有穷维之间存在本质的区别，控制实际希望用有穷维甚至低阶系统来实现，这就为分析和设计无穷维系统带来大量的理论问题，例如控制溢出、观察溢出等。

由维纳(Wiener，N.)的预测和滤波及其后的卡尔曼滤波为开端发展起来的线性随机控制系统理论，主要讨论系统稳定性、系统辨识与参数估计问题以及自适应与自校正控制。由于实际控制的需要，这一类问题的研究中主要是提出并实现各种有效的算法，并在理论上回答这些算法应具有的属性(例如收敛性、适定性等)。

线性系统只是实际系统的一个近似模式。在系统平衡点附近，当线性模式是渐近稳定或本质不稳定时，它的这类特征可以反映真实系统，但在远离平衡点作大范围运动时，线性系统模式就难以适应需要，特别对一些本质非线性的现象(自振、分岔、混沌现象等)用线性模式讨论是不可能奏效的。2

本词条内容贡献者为:

于仁业 - 高级工程师 - 中航工业哈尔滨飞机工业集团有限责任公司