[科普中国]-解析最优化方法

解析最优化方法，也称间接最优化方法，是求解最优化问题的一类方法。它要求把所研究的对象用数学表达式描述出来，然后用数学解析方法求出最优解。

基本内容人们在做任何一件事情（工作）时，总是希望在可能（现有）的条件下，从众多可能方案中选择一个方案，使事情（工作）的结果最能满足自己的心愿，或者说使结果的目标值与自己的期望值最为符合。这个方案就可以称为最优方案，而这个选择最优方案的行为或过程就是一个最优化的过程。正是人类活动中无数这种寻找最优方案的过程，形成了最优化与最优控制理论与方法产生的基础。

随着人类对自然界认识的不断深入，寻找最优逐渐从下意识的、缺乏系统性的行为发展到目的明确的有意识活动，并在数学工具日渐完善的基础上，对各种寻找最优的活动进行数学描述和分析，指导寻优活动更有效地进行，从而形成了最优化理论与方法这一应用数学理论分支。1

分类最优化问题按其描述模型和变量取值要求的不同，可以分为动态最优化（最优控制）与静态最优化。最优化问题的数学描述和解有的与时间有关，有的与时间无关。前者称为动态最优化问题，或更一般称为最优控制问题，后者称为静态最优化问题，或更一般称为最优化问题。两类最优化问题的解法不同，但相互之间有联系，在一定条件下可以转换。

无约束最优化与有约束最优化：如果除目标函数以外，对参与优化的各变量没有其他函数或变量约束，则称为无约束最优化问题。反之，称为有约束最优化问题。实际的最优化问题一般除了目标函数外都有其他约束条件，因此多为有约束最优化问题。有约束最优化问题的约束条件又可以分为等式约束和不等式约束。

线性最优化与非线性最优化：如果最优化问题的目标函数和所有约束条件均为线性的，则为线性最优化问题。而只要最优化问题目标函数和约束条件中有一个是非线性的，就是非线性最优化问题。线性最优化问题是非线性最优化问题的特例。但由于非线性系统问题的求解难度远远大于线性系统问题，目前线性最优化问题的研究较为成熟，而非线性最优化问题仍然是当前的研究热点之一。

确定性最优化与随机性最优化：如果在最优化问题中，每个变量的取值都是确定可知的，则该问题为确定性最优化问题。如果某个或某些变量的取值是不确定的，但服从一定的统计规律，则属于随机性最优化问题。2

举例例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。也就是说，人们认识到了圆截面容器是各种截面容器中的最优容器。古代人类这种寻找最优方案的例子比比皆是，如北半球朝南的房屋冬暖夏凉可以获得最舒适的居住条件、农作物生长过程中在某些最佳时机灌溉可以显著增产，等等。3

人类进入现代社会以后，生产和社会活动的规模不断扩大，复杂性日益增加，这就意味着完成一项工作或进行一项活动可以选择的方案数量也急剧增加，从中寻找最优方案几乎已经是进行任何一件工作所必须面对的问题。例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。3

解法间接法（解析法）：对于系统模型具有简单明确的数学解析表达式的最优化问题，采用数学分析的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。

直接法（数值解法）：对于无法用简单明确的数学解析表达式表达其系统模型的最优化问题，通过数值计算，在经过一系列迭代过程产生的点列中直接搜索，使其逐步逼近最优点的。

以解析法为基础的数值解法：以梯度法为基础，将解析法与数值计算相结合的最优化求解方法。

网络最优化方法：以网络图作为数学模型，用图论方法进行搜索的最优化求解方法。

现代优化算法：运用现代智能计算方法，如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等，进行直接搜索的最优化求解方法，主要解决大规模复杂优化问题中的NP-hard问题。3

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学