[科普中国]-解析函数边值问题

解析函数边值问题是指寻求满足一定边界条件的解析函数的一类问题，是解析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重要分支。

简介解析函数边值问题是指求某些区域中的解析函数，使其在区域边界上的极限值（也称边值）满足一定条件的问题。

推广由于解析函数满足柯西-黎曼条件，因此解析函数边值问题和椭圆型偏微分方程的边值问题密切相关。如未知数不止一个，而是一组解析函数，则又有解析函数组的边值问题。

有时边值条件中会出现未知函数在区域边界点t和α(t)的边值之间的联系，则称为带位移的边值问题，其中α(t)是边界到其自身的同胚映射。求解这类边值问题的基本工具是柯西型积分和普莱姆利公式。

应用解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。1

发展解析函数边值问题的一些简单情况，早在19世纪就已有所讨论，而作为函数论的一分支蓬勃发展，则是20世纪中叶的事情。特别是穆斯赫利什维利为首的苏联学派在这方面做出了卓越的贡献。

中国学者从20世纪60年代起在解析函数边值问题方面也做了不少工作。如果把柯西-黎曼条件推广，则可引进广义解析函数的概念，从而也有了广义解析函数边值问题的研究。这种研究在20世纪下半叶以来已经有了相当的规模，这其中也包括中国数学工作者的工作在内。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学