[科普中国]-平稳序列

平稳序列（stationary series）是基本上不存在趋势的序列。这类序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动，虽然在不同的时间段波动的程度不同，但并不存在某种规律，其波动可以看成是随机的。1

定义在随机过程理论中，平稳序列（Stationary sequence）是指联合概率分布函数不随时间改变的随机序列.如果一个随机序列 {Xn,n≥0}是平稳的，则其随机变量的联合分布函数为:

F(X1,X2,…,Xk)=**F(**X1+t,X2+t,…，Xk+t);(k≥2)

其中F表示为联合分布函数;t∈R，且t大于0;X1,X2,…,Xk是{Xn,n≥0}中的任意K个随机变量.

性质平稳序列中，往往(X1,⋯,Xn)与Xn+1不独立。所以利用历史样本来预测未来时间就有了可能。

一般来讲，获取平稳序列的办法是：将时间序列的趋势项和季节项都去掉，只留下随机项。

首先看一下自协方差函数。它满足三条性质（称为非负定序列）：

对称性

非负定性：自协方差矩阵是非负定的。

有界性：|γk|≤γ0

样本的自协方差函数：γk^=1N∑N−kt=1(xt+k−x¯)(xt−x¯)

模型与基本数据平稳序列：如果一个时间序列：二阶矩有限，一阶矩为常数，自协方差函数对于各个位置相同。这三个角度也是刻画时间序列的常用角度2。

平稳序列的平稳性主要体现在均值不变、方差有限，别的限制很弱。自协方差函数的不变性仍然允许周期性的出现。

平稳序列的周期性：可以体现在它的自协方差函数。

序列相关性：连续n个点上面的自协方差矩阵退化⇔

存在非0的n维实数向量使得这n个点的线性组合的方差为0，即这n个点的r.v. 线性相关。如果有n个向量线性相关，那么任意n+1个连续随机变量也是线性相关的。

时间序列的线性变换指的是对每个r.v进行线性变换，而不是多个r.v.的加和。平稳序列经过线性变换之后仍然是平稳序列。

自相关函数：平稳序列{Xt}标准化后的序列{Yt}的自协方差函数ρk=γk/γ0， 它也是非负定序列。

白噪声：白噪声是最简单的平稳序列，它比正常假设多了一条：二阶矩不相关。即Cov(ϵt,ϵs)=δt−sσ2

分类：独立白噪声、零均值白噪声、标准白噪声、正态白噪声……

白噪声主要用来描述简单随机干扰。

Poisson白噪声：Poisson过程减去均值，就是一个Poisson白噪声。

布朗运动和正态白噪声

调和白噪声（Xt=bcos(at+Ut)

）注意，它是没有周期性的。

正交平稳序列：EXtYs=0,∀s,t∈Z

对于零均值的平稳序列，正交性与不相关性等价。

正交序列与平稳序列的和的自协方差函数

线性平稳序列

定义：由白噪声的线性组合构成的平稳序列。

有限运动平均MA：形式为Xt=a0ϵt+a1ϵt−1+⋯+aqϵt−q

经过简单计算我们可以得到它的均值（0）和自协方差函数。我们可以很清楚地定义它为

相关的。

推广到无穷情形，我们需要两个工具，用来求无穷个r.v.的和的数学期望。如下：

单调收敛定理：非负单调递增r.v.{ξn}, 如果ξn→ξ,a.s.那么Eξ=limnEξn

控制收敛定理：几乎处处有界的r.v.序列，如果有极限，那么期望与极限可以交换。

有上面两个定理，我们就可以给出线性平稳序列的各种性质了！ 即非负单调递增r.v.序列如果有极限，那么极限与期望（积分）可以交换。

线性平稳序列：对于绝对可和的实数序列{at},Xt=∑∞−∞ajϵt−j

容易得到，它是零均值的（控制收敛定理） ，自协方差函数γk=σ2∑∞−∞ajaj+k（控制收敛定理）。

一般只要求平方可和，这时仍然是平稳的序列。（平方可和弱于绝对可和）

若一个序列是零均值白噪声的线性组合，系数序列平方可和，那么自协方差函数γk→0

（当然，我们也可以取单面滑动平均。这也是应用时间序列分析中最常用的方法）

平稳序列的谱函数这个东西是类似于单个随机变量的分布函数或密度函数存在的。平稳序列的二阶统计性质可以由它的 谱分布函数或谱密度函数刻画。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学