[科普中国]-舒尔定理

舒尔定理(Schur theorem)是源于数论中的一个定理，因为是由舒尔(I.Schur)于1916年发表的，由这个定理可知，存在一个最小的整数sn，使得任意划分{1，2，…，Sn}为n个子集S1，S2，…，Sn，都存在一个Si包含x，y，z，满足x+y=z，这个最小数称为舒尔数1。

基本介绍舒尔定理是德国数学家舒尔(I.Schur，1875～1944)在1916年发表的一篇研究有限域上的费马大定理的论文中证明的，论文的题目叫做“论同余式 ”，这里所说的舒尔定理是为了证明论文的主要结果而先行证明的结论。

舒尔定理(有限形式) 对任一给定的 ，存在 ，使得对[n]的任一k-染色 ，有 使 (这里的x，y可能相等)，上述数n的最小值记为S(k)。

舒尔定理的推广舒尔定理是拉姆塞理论的源头之一，虽然舒尔本人证明这个定理是为了研究别的问题，而且以后他也没有在拉姆塞理论这一领域发表其他研究成果，但在这一理论的发展史上至少有二件大事与舒尔紧密相关。

i)在研究数论(有关于二次剩余和二次非剩余的分布)问题时，舒尔在1920年提出了一个猜想，这个猜想在1927年被荷兰数学家范德瓦尔登(B.L.van der Waerden)证明为真，从而成为拉姆塞理论——也是数论——的一个著名经典定理(后来这个定理称作范德瓦尔登定理)。

ii)舒尔指导了他的一位博士生拉多(R.Rado)写作学位论文，在拉多的1933年的学位论文以及随后的一系列更进一步的研究工作中，拉多证明了一个深刻的定理(后来被称作拉多定理)，这个定理既是舒尔定理又是范德瓦尔登定理的非常深刻的推广，它也是拉姆塞理论的经典定理之一。

这里要介绍的是和舒尔定理的形式上很相像的一种深刻推广，为叙述简明，同时也为了更突出舒尔定理的定性方面，先给出舒尔定理的无限形式。

舒尔定理(无限形式) 对任一给定的以及N的任一k-染色，一定有同色的 满足 。

这是舒尔定理的有限形式的直接推论。

下面的这个推广结果是20世纪60年代后至少三位数学家各自独立地发现的，为了纪念其中已不幸天亡而又对拉姆塞理论作出杰出贡献的一位数学家福克曼(J.Folkman，1938～1969)，我们遵从很多文献的说法，把这一结果称作福克曼定理。

福克曼定理 对任意给定的以及N的任一k-染色，N中一定有n元子集A，使得A中任意多个不同的数的和都同色。(更详细地说，对A的每个非空子集X，记X中各数之和为n(x)，则所有n(X)都同色。)

注意，当n=2时，存在2元子集使得x，y，x+y同色就得到舒尔定理(因这里的x，y，x+y是3个不同的数，所以结论还比舒尔定理稍强一些)。

后来发现上述福克曼定理实际上可以从拉多定理推导出来(这个推导并不简单)，但福克曼定理仍有其价值。其中之一是福克曼定理的表述方式促使人们作进一步的探索，最著名的一个深刻推广是欣德曼(N.Hindman)在1974年证明的下述结果：

欣德曼定理 对N的任一有限染色，N中一定有无限子集A，使得A中任意有很多个不同数之和都同色。

欣德曼定理是福克曼定理在更深层次上的推广。一般说来，证明一定存在具有某些性质的无限子集和证明一定存在有限子集有本质性不同，欣德曼定理不能从别的存在有限子集的结论导出，证明它需要新方法，当然，它也成为进一步研究的新源头。

最后再对福克曼定理讲一个没有解决的猜想，首先很容易证明，如果在福克曼定理中把结论中的“和”改成“积”，则定理仍成立，具体地说，有下述结论：

定理(福克曼定理的乘积形式) 对任意给定的以及N的任一k-染色，N中一定有n元子集A'，使得A'中任意多个不同的数的积都同色2。

本词条内容贡献者为:

刘燕兵 - 副研究员 - 中国科学院信息工程研究所