[科普中国]-香农极限

信道的香农极限（或称香农容量）指的是在会随机发生误码的信道上进行无差错传输的最大传输速率。它的存在是香农定理在带宽有限的信道上的一个结论。

简介信道的香农极限（或称香农容量）指的是在会随机发生误码的信道上进行无差错传输的最大传输速率。它的存在是香农定理在带宽有限的信道上的一个结论。1

有噪信道编码定理在信息论里，有噪信道编码定理指出，尽管噪声会干扰通信信道，但还是有可能在信息传输速率小于信道容量的前提下，以任意低的错误概率传送数据信息。这个令人惊讶的结果，有时候被称为信息原理基本定理，也叫做香农-哈特利定理或香农定理，是由克劳德·艾尔伍德·香农于1948年首次提出。

通信信道的信道容量或香农限制是指在指定的噪音标准下，信道理论上的最大传输率。

根据香农1948年的陈述，本定理描述了在不同级别的噪音干扰和数据损坏情况下，错误监测和纠正可能达到的最高效率。定理没有指出如何构造错误监测的模型，只是告诉大家有可能达到的最佳效果。香农定理可以广泛应用在通信和数据存储领域。本定理是现代信息论的基础理论。香农只是提出了证明的大概提纲。1954年，艾米尔·范斯坦第一个提出了严密的论证。

香农定理假设一个有噪音的信道，信道容量为C，信息以速度R传送，如果

那么就存在一种编码技术使接收端收到的错误达到任意小的数值。这意味着理论上，有可能无错误地传送信息直到达到速度限制C。

反过来同样重要。如果

那么想达到任意小的错误率是不可能实现的。因此，在传送速度超过信道容量的时候，可靠传输信息是不能被保证的。定理并没有指出在什么特殊情况下速度和容量相等。

简单的流程如"重复发送数据3遍，用一个投票系统在数据不一样的时候选择3个里面相同的那两个的值"是低效的错误纠正的方式，不能保证数据块能完全没有错误地传送。先进一些的技术如里德-所罗门码编码技术和更现代一些的Turbo码、LDPC码等编码技术更逼近香农限制，但是计算复杂度很高。1

理想加白噪声情况下香农限考虑数据率、噪声以及误码率的关系。噪声的存在会破坏一个或多个比特。假如数据率增加，那么这些比特会变短，因而给定的噪声模式会影响更多个比特。于是，给定一个噪声值，数据率越高则误码率也越高。所有的这些概念可以通过香农公式清楚联系在一起，此公式由数学家克劳德·艾尔伍德·香农(Claude Elwood Shannon，1916-2001）推导得出的。

如刚才所描绘的，数据率越高，无用的噪声会带来更严重的破坏。在噪声存在的情况下，给点一个噪声值，我们能够通过提高信号强度来提高正确接收数据的能力。在这一推导过程中涉及的主要参数是信噪比(SNR或S/N)，它是指在传输过程中某一点的信号功率与噪声包含功率之比。通常信噪比在接收器处测量，因为正是在这里我们试图处理信号并消除无用噪声。为了使用方便，这个比率通常用分贝表示

它表示有用信号超出噪声值的量，以分贝为单位。SNR的值越高，表示信号的质量越好，所需中间转发器的数量越少。

信噪比对数字数据传输十分重要，因为它限定了一个可达到的数据率上限。香农得出的结果是，用bps来表示的信道的最大容量遵从等式

C是以比特/秒为单位的信道容量，净比特率的理论上限（信息速率，有时表示为I），不包括纠错码;

B是带宽的信道的在赫兹（通带中的带通信号的情况下的带宽）;

S是以瓦（或伏平方）测量的带宽上的平均接收信号功率（在载波调制通带传输的情况下，通常表示为C）;

N是噪声和带宽上的干扰的平均功率，以瓦（或伏特平方）为单位测量;

S / N是通信信号对接收机噪声和干扰的信噪比（SNR）或载波噪声比（CNR）（表示为线性功率比，而不是对数分贝） 。

香农公式显示出理论上可达到的最大值。然而在实际应用中能够达到的速率要低得多。其中一个原因是该公式假定噪声为白噪声(热噪声)，既没有考虑到冲激噪声，也没有考虑衰减和时延失真。即使在理想白噪声情况下，因为编码的原因(如编码长度和复杂性等)，目前的技术仍然无法达到香农容量。

香农公式中提到的容量为无误码容量。经香农证明，假如信道上的实际信息率比无误码容量低，从理论上来说，通过适当的信息编码，信道就有可能达到无误码容量。遗憾的是，香农的理论并没有给出如何找到这种编码的方法，但提供了一个用来衡量实际通信机制性能的计算标准。

通过香农公式我们可以考虑如何将信道容量上限提高。假如噪声值给定，那么似乎通过增加信号强度或带宽就能提高数据率；但是，如果信号强度增加了，则系统的非线性程度也会提高，这就导致互调噪声的增加。还有一点需要注意，由于假定噪声是白噪声，那么带宽越宽，因此系统容纳的噪声也就越多，因此随着B的增加SNR反而降低了。

当，或时，。

但是当时，将趋向何值？

令，上式可以改写为：

利用关系式：

上式变为：

上式表明，当给定时，若带宽B趋于无穷大，信道容量不会趋于无限大，而只是的1.44倍。这是

因为当带宽B增大时，噪声功率也随之增大。

和带宽B的关系曲线：

上式还可以改写成如下形式：

式中——每比特能量

——每比特持续时间

上式表明，为了得到给定的信道容量，可以增大带宽B以换取的减小；另一方面，在接收功率受 限的情况下，由于，可以增大以减小S来保持和不变。

香农定理与香农限香农定理概述在信息理论中，噪声信道编码定理（有时是香农定理）确定了对于通信信道的任何给定程度的噪声污染，可以将几乎无错误的离散数据（数字信息）传送到可计算的最大值通过渠道率。这个结果由克劳德·香农在1948年提出，部分原因是早期的工作和哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）和拉尔夫·哈特利（Ralph Hartley）的观点。

香农定理指出，给定具有信道容量C和以速率R发送的信息的噪声信道，则if R C，任意小的错误概率是无法实现的。所有代码将具有大于某个正极小水平的误差概率，并且该水平随着速率的增加而增加。因此，不能保证通过信道容量以外的速率可靠地传输信息。定理没有解决速度和能力相等的罕见情况。

信道容量C可以根据信道的物理性质来计算;

数学概述

对于每个离散的无记忆通道，通道容量

具有以下属性。对于任何ε> 0且- [R > 1，那么

这里

2. 同理，如果S / N