[科普中国]-乘积累加运算

乘积累加运算（英语：Multiply Accumulate, MAC）是在数字信号处理器或一些微处理器中的特殊运算。实现此运算操作的硬件电路单元，被称为“乘数累加器”。这种运算的操作，是将乘法的乘积结果和累加器 A 的值相加，再存入累加器。

若没有使用 MAC 指令，上述的程序可能需要二个指令，但 MAC 指令可以使用一个指令完成。而许多运算（例如卷积运算、点积运算、矩阵运算、数字滤波器运算、乃至多项式的求值运算）都可以分解为数个 MAC 指令，因此可以提高上述运算的效率。

简介MAC指令的输入及输出的数据类型可以是整数、定点数或是浮点数。若处理浮点数时，会有两次的数值修约（Rounding），这在很多典型的DSP上很常见。若一条MAC指令在处理浮点数时只有一次的数值修约，则这种指令称为“融合乘加运算”/“积和熔加运算”（fused multiply-add, FMA）或“熔合乘法累积运算”（fused multiply–accumulate, FMAC）。1

浮点运算中当使用整数时，操作通常是精确的（以2的幂为单位计算）。 但是浮点数只有一定的数学精度。 也就是说，数字浮点运算通常不是关联的或分布式的。 （请参阅浮点#精度问题。）因此，无论是使用两个舍入执行乘法加法，还是使用单个舍入（融合乘法加法）进行一次运算，结果都会产生差异。 IEEE 754-2008规定必须进行一次舍入，才能得到更准确的结果。

积和熔加运算融合乘加运算的操作和乘积累加的基本一样，对于浮点数的操作也是一条指令完成。但不同的是，非融合乘加的乘积累加运算，处理浮点数时，会先完成b×c的乘积，将其结果数值修约到N个比特，然后才将修约后的结果与寄存器a的数值相加，再把结果修约到N个比特；融合乘加则是先完成a+b×c的操作，获得最终的完整结果后方才修约到N个比特。由于减少了数值修约次数，这种操作可以提高运算结果的精度，以及提高运算效率和速率。

积和融加运算可以显著提升像是这些运算的性能和精度：

点积

矩阵乘法

多项式方程求解（像是秦九韶算法等）

牛顿法求解函数的零点

积和融加运算通常被依靠用来获取更精确的运算结果。然而，Kahan指出，如果不加思索地使用这种运算操作，在某些情况下可能会带来问题。像是平方差公式x−y，它等价于((x×x) −y×y)，若果x与y已知数值，使用积和融加运算来求结果，哪怕x=y时，因为在进行首次乘法操作时无视低位的有效比特，可能会使运算结果出错，如果是多步运算，第一步就出错则会连累后续的运算结果接连出错，比如前述的平方差求值后，再取结果的平方根，那么这个结果也会出错。2

点积指令一些机器将多个融合乘法加法运算组合成单个步骤，例如， 在两个128位SIMD寄存器上执行四元素点积a0×b0 + a1×b1 + a2×b2 + a3×b3，具有单周期吞吐量。

支持FMA操作包含在IEEE 754-2008中。

DEC VAX的POLY指令用于使用一系列乘法和加法步骤来评估具有Horner规则的多项式。指令描述不指定是否使用单个fma步骤执行乘法和加法。[7]该指令自1977年原始的11/780实现以来一直是VAX指令集的一部分。

1999编程语言标准支持通过fma标准数学库函数进行FMA操作，以及基于FMA控制优化的标准编译指示。

融合的乘法-加法运算是在IBM POWER1（1990）处理器[8]中作为multiply-add融合引入的，但从那时起已被添加到众多其他处理器中：

HP PA-8000（1996）及以上版本

英特尔安腾（2001）

STI Cell（2006）

富士通SPARC64 VI（2007）及以上

（MIPS兼容）龙芯-2F（2008）

Elbrus-8SV（2018）

带有FMA3和/或FMA4指令集的x86处理器：

AMD Bulldozer（2011年，仅限FMA4）

AMD打桩机（2012，FMA3和FMA4）

AMD Steamroller（2014）

英特尔Haswell（2013年，仅限FMA3）

带VFPv4和/或NEONv2的ARM处理器：

ARM Cortex-M4F（2010）

ARM Cortex-A5（2012）

ARM Cortex-A7（2013）

ARM Cortex-A15（2012）

Qualcomm Krait（2012）

Apple A6（2012）

所有ARMv8处理器

GPU和GPGPU板：

Advanced Micro Devices GPU（2009）及更新版本

TeraScale 2“Evergreen”系列产品

NVidia GPU（2010）及更新版本

Maxwell-based（2014）

Pascal（2016）

Volta（2017）

英特尔MIC（2012）

ARM Mali T600系列（2012）及以上

应用到微处理器中的方法一种微处理器中的方法，用以预备执行一±A*B±C形式的融合乘积62相加运算，其通过发送第一与第二乘积62相加微指令至一或多个指令执行单元，以完成完整融合乘积62相加运算；第一乘积62相加微指令导引一未舍入非冗余结果向量、自(a)A与B的部分乘积、或(b)具有A与B部分乘积的C中的一选项的一第一相加运算产生；如果第一相加运算并未包括C，则第二乘积62相加微指令导引具有未舍入非冗余结果向量的C的一第二相加运算的执行，第二乘积62相加微指令亦导引、自未舍入非非冗余结果向量产生最终舍入结果，其中，最终舍入结果为融合乘积62相加运算的一完全结果。3

本词条内容贡献者为:

李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院