[科普中国]-极小条件

极小条件(minimal condition)是与有序集相关的一个概念，当有序集X的任意非空子集都具有极小元时，称X满足极小条件1。

基本介绍设(P,≤)是任意一个偏序集，考虑下述条件2：

A极小条件：P中任意非空子集一定有极小元。

B降链条件：P中任意元素列{ |i=1,2...}如果能组成一个降链，

则存在一个正整数m，使得 。

C归纳条件:对于任意一种性质ε，若

(1)P中一切极小元(当它们存在时)具有性质ε；

(2)对于任意a∈P，如果一切真小于a的元素都具有性质ε，可推得a也具有性质ε，则P中所有元素都具有性质ε。

对偶地，可有：

A'极大条件：P中任意非空子集一定有极大元；

B'升链条件：P中任意元素列{ |n=1,2...}如果能组成一个升链，即

则存在一个正整数m,使得。

C'对偶归纳条件:对于任意一种性质ε，若

(1)P中一切极大元(当它们存在时)具有性质ε；

(2)对于任意a∈P，如果一切真大于a的元素都具有性质ε，可推得a也具有性质ε，则P中所有元素都具有性质ε2。

相关定理定理1 对于任何偏序集(P.≤)，条件A,B,C(对偶地:A',B',C')彼此等价2。

证明 A→C设P满足极小条件，ε是某一性质，并且归纳条件的前提成立，令

M={a|a∈P且a不具有性质ε}，

则M⊆P，若M≠∅，由A知M中有一极小元a∈M，根据归纳条件的前提，a不是P中的极小元，但是一切真比a小的元素不在M中，因而具有性质ε，由归纳条件的第二个前提推得a也具有性质ε，这与a∈M矛盾，故M=∅，即C成立。

C→B设P满足归纳条件，规定；

元素a(a∈P)具有性质ε当且仅当任意由a开始的降链：

必稳定在有限项，即存在正整数n0，使得 ，显然，P中一切极小元(当它们存在时)具有性质ε，设a∈P,并且所有真比a小的元素都具有性质ε，易证a亦具有性质ε，由C知P中所有元素都具有性质ε，故B成立。

B→A设B成立，若A不成立，则存在N⊆P,N≠∅，N无极小元。显然N是无限集，任取a1∈N，a1不会是N的极小元，因此存在a2∈N使得a1>a2,...假定已经找到a1,a2,...,ak∈N，并且 ,显然ak也不是N的极小元，于是存在ak+1∈N,使得 ,这样继续下去可得N中一列元素:

此与条件B矛盾，故A成立。

利用对偶原则知A',B',C'彼此等价。

归纳条件不仅使我们可依归纳法去进行证明，也可用归纳法来构造。

定理2 设(P，≤)是满足极小条件的偏序集，W是任意给定的集合.则存在惟一的映射φ:P→W，满足条件:

(1)在P的所有极小元上φ取给定的值；

(2)φ满足给定的逆推关系，即对任意的a∈P，φ(a)由所有真小干a的元素b(b