[科普中国]-命题公式

命题公式(propositional formula)亦称合式公式，是数理逻辑术语，它是按照一定规律形成的符号序列，在命题演算中，公式通常用归纳定义给出，例如，在一个具有五个联结词ᒣ，∨，∧，→，≡的系统中，合式公式定义如下：1.命题变元和命题常元是公式；2.如果α是公式，则ᒣα也是公式；3.如果α，β是公式，则α∨β，α∧β，α→β，α≡β均为公式；4.只有由1～3条给出的才是公式。因此，根据上述定义，ᒣp，(p→q)∨ᒣp等是公式，而pᒣ，pq→等都不是公式1。

基本介绍命题公式是对由命题变项、联结间和圆括号按照一定逻辑关系构成的复合命题的形式化描述。。

定义 命题合式公式，又称为命题公式(简称公式)，可按下列规则生成:

(1)命题变项是命题公式。

(2)如果A是命题公式，则¬A是命题公式。

(3)如果A和B是命题公式，那么(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(A↔B)都是命题公式。

(4)当且仅当有限次地应用(1)，(2)，(3)所得到的包含命题变项，联结词和圆括号的符号串是命题公式。

命题公式的定义是一个递归定义形式。命题公式本身不是命题，没有真值，只有对其命题变项进行赋值后，它才有真值。

5个联结词运算儿有不同的优先级。当它们同时出现在一个命题公式里时，联结间运算的优先次序为¬、∧、∨、→、↔，如果有括号，则括号内的运算优先进行2。

例题解析【例1】判定下列式子是否是命题公式。

(1) ((P∧¬Q)→R)

(2) ((P↔¬Q)∧((Q→R)↔(R∨Q)))

(3) ((R∨Q)→P)

(4) ((R，¬Q)→P)

(5) (R∧→Q)

(6) ((P∨Q)→(R↔¬Q))

解根据命题公式的定义可知1，(1)、(2)、(3)是命题公式，而(4)、(5)、(6)不是命题公式。命题公式最外层括号可以省略。

有了命题公式的定义后,很多复合命题可以符号化为命题公式。

【例2】 “如果提高天然气占能源的比例，且烧干净的煤，那么空气质量就能提升许多。”用命题公式符号化该命题。

解:设P:提高天然气古能源的比例; Q:烧干净的煤: R：空气质量就能提升许多2。

该命题可符号化为(P∧Q)→R。

相关概念及定理定义1 设A是一个命题公式，是出现在A中的所有命题变项。对这些命题变项各赋予一个确定的真值，那这一组真值称为对命题公式的一种赋值2。

对于不同的赋值，命题公式有不同的真值情况。将命题公式在所行的赋值下的真值情况用表格表达出来，这张表就称为真值表。如果一个命题公式有n个命题变项。每个命题变项有两种真值情况，则共有2n种不同的赋值情况。为了不遗漏每种赋值情况。1个命题变项的取值一般从00...0到1...1或者从1...1到00...0。

定义2 设A、B是命题公式，是出现在A和B中的所有命题变项，如果对于的任何一组赋值，A的真值和B的真值都相同，则称公式A等值于公式B(或A与B等值)，记作AB。

因此，要判断两个公式是否等值，根据定义，只需将两个公式的真值表列出，判断两个真值表是否相同即可。

对一个命题公式A，如果用公式B取代A中的一部分，会得到一个新公式C。但是一般来说，公式A和C是不等值的。例如，在公式P∧Q中用P∨¬P取代Q，得到的P∧(P∨¬P)不等值于原来的公式。但如果对取代过程加以某种限制，则得到的新公式会和原来的公式等值。

命题公式中有许多公式是等值的，要记住大量的等值公式是困难的，但一些基本的、重要的等值式模式是应该掌握的。下面列出一些最基本的等值式模式。

比如双重否定律：¬¬AA，幂等律：A∨AA，A∧AA，还有交换律，结合律，分配律，德.摩根律，吸收律，同一律等。

定义3 设A是一个命题公式，A'是A的一部分,且A'也是一个命题公式，则称A'是A的子公式。

定理 设A'是A的子公式，B'是一个命题公式且A'B'。将A中的A'用B'来取代，所得到的是一个新公式，记为B，则AB2。

命题公式的分类重言式给定一个命题公式，若对于其中的命题变项的任何一组赋值，命题公式对应的真值永远为1，则称该命题公式为重言式或永真式。

矛盾式给定一个命题公式，若对于其中的命题变项的任何一组赋值，命题公式对应的真值永远为0，则称该命题公式为矛盾式或永假式。

可满足式给定一个命题公式，若至少存在一组赋值使得该公式的真值为1，则称该命题公式为可满足式。

由定义可知，公式¬(P∧Q)↔¬P∨¬Q是永真式，公式¬(P→Q)∧Q是永假式，永真式的真值总是为1，因而是一种特殊的可满足式2。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学