[科普中国]-Cis函数

cis函数又称纯虚数指数函数，是复变函数的一种，和三角函数类似。它的定义域是整个实数集，值域是单位复数，绝对值为1的复数。它是周期函数，其最小正周期为2π。其图像关于原点对称。

定义上述文字称它以类似三角函数的形式来定义函数的原因是，就如同三角函数，他也算是一种比值，复数和其模的比值:

，其中z是幅角为 的复数

因此，当一复数的模为1，其反函数就是幅角（arg函数）。

cis函数可视为求单位复数的函数

cis函数的实数部分和余弦函数相同。

命名由于cis函数的值为“余弦加上虚数单位倍的正弦”，取其英文缩写cosine andimaginary unitsine，故以cis来表示该函数。

欧拉公式主条目：欧拉公式

在数学上，为了简化欧拉公式 ，因此将欧拉公式以类似三角函数的形式来定义函数，给出了cis函数的定义：

并且一般定义域为 ，值域为 。

当 值为复数时，cis函数仍然是有效的，所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。1

指数定义跟其他三角函数类似，可以用e的指数来表示，依照欧拉公式给出:

反函数cis的反函数: arccis x，当代入模为1的复数时，所得的值是其辐角

类似其他三角函数，cis的反函数也可以用自然对数来表示

当一复数经过符号函数后代入arccis x可得辐角。

恒等式cis函数的倍角公式似乎比三角函数简单许多。

双曲cis函数一般会将双曲cis函数定义成:

定义域和值域皆为实数，但若定义双曲复数，

考虑数 ，其中 是实数，而量{\displaystyle j}不是实数，但{\displaystyle j^{2}}是实数。

主条目：双曲复数

选取{\displaystyle j^{2}=-1}，得到一般复数。取 的话，便得到双曲复数。

而双曲复数有对应的欧拉公式:

其中j为双曲复数。

因此双曲cis函数得到的值为双曲复数，相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角。

如此一来，值域将会变成四元数。

参见正弦

余弦

复数 (数学)

三角函数

三角函数恒等式

欧拉公式

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学