[科普中国]-库尔卡尼-野水积

在数学的微分几何学中，库尔卡尼-野水积（英语：Kulkarni–Nomizu product）是对两个对称(0,2)-张量定义，给出一个(0,4)-张量。

简介库尔卡尼－野水积是命名自拉温德拉·什里帕德·库尔卡尼和野水克己。

若h和k是对称(0,2)-张量，定义其积为

其中Xj是切向量。

从上可见 。

两个对称张量的库尔卡尼－野水积，有黎曼张量的代数对称性。因此，库尔卡尼－野水积常用以表示里奇曲率张量和外尔张量在黎曼流形的曲率中的构成部分。这是在微分几何中有用的里奇分解。

一个黎曼流形有常截面曲率k，当且仅当黎曼张量有以下形式

其中g是度量张量。

黎曼流形黎曼流形是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。

每个R的平滑子流形可以导出黎曼度量：把R的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以这样产生。

我们可以定义黎曼流形为和R的平滑子流形是等距同构的度量空间，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从R导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：

如果γ: [a,b] →M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L（γ）为

（注意：γ'（t）是切空间M在γ（t）点的元素；||·||是切空间的内积所得出的范数。）

使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d（x,y）定义为：

d(x,y) =inf{ L(γ): γ是连接x和y的一条光滑曲线}。

虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在：那就是测地线。1

在黎曼流形中，测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学