[科普中国]-算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现了算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。

介绍算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现了算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有时被称为平均值不等式（或均值不等式），其实后者是一组更广泛的不等式。

证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的：1

由对称性不妨设 是 中最大的，由于，设，则 ，并且有。

根据二项式定理，

于是完成了从n到n+1的证明。

例子在n=4 的情况，设:， 那么2

可见。

推广不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设为正实数，并且，那么：

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

参见平均数不等式

算术平均数

几何平均数

幂平均不等式

杨氏不等式

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学