[科普中国]-微分连锁律

微分连锁律是一门高等数学的定律。连锁律的基本公式为：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

概述当需要微分(x+1)2时，我们可以将其展开成为x2+2x+1后对其求导，得到2x+2。然而，当我们遇到类似(3x+1)5这样的式子时，将其展开将浪费许多时间和精力，这时我们可以使用连锁律来解决这个问题。

连锁律的基本公式为：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

连锁律的推导假设y=f(x)且z=f(y)：

∵δy/δx=(δy/δz)×(δz/δx)

∴limδx→0 δy/δx=(limδz→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx)

又∵当δx→0时,δz→0

∴limδx→0 δy/δx=(limδx→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx)

得出公式：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

以y=(3x+1)5为例，使用连锁律求导：

假设z=3x+1，y=z5。

d/dx[(3x+1)5]=dy/dx

=(dy/dz)×(dz/dx)

=[d/dz(z5)]×[d/dx(3x+1)]

=(5z4)(3)

=15z4

=15(3x+1)4

这样我们就可以轻松得出(3x+1)5的导数1。

连锁律的应用y^n的导数连锁律一般被用来求yn的导数（y=f(x)且n为常数），我们可以用连锁律获得更简单的公式。

以(ax+b)n为例，假设y=ax+b：

d/dx(yn)

=d/dy(yn)×dy/dx （连锁律）

=[ny(n-1)](a)

=any(n-1)

=an(ax+b)(n-1)

可以得出：

d/dx(yn)=[ny(n-1)](dy/dx)

d/dx[(ax+b)n]=an(ax+b)(n-1)

1/y或1/y^n的导数有时，n的值会是-1，我们也可以使用连锁律。

d/dx(1/y)

=d/dx[y(-1)]

=[-y(-2)]×(dy/dx) （连锁律）

=(-1/y2)(dy/dx)

有的时候n的值是其他负数：

d/dx(1/yn)

=d/dx[y(-n)]

=[-ny(-n-1)]×(dy/dx) （连锁律）

=[-n/y(n+1)](dy/dx)

最后得出：

d/dx(1/y)=(-1/y2)(dy/dx)

d/dx(1/yn)=[-n/y(n+1)](dy/dx)

√y的导数在日常生活中，n除经常取整数外，还经常取1/2，即y=√z。

同样以y=√z（z是自变量为x的函数）为例，使用刚得到的公式进行求导：

dy/dx

=(dy/dz)×(dz/dx) （连锁律）

=[0.5z(-0.5)](dz/dx)

得出另一个公式：d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)

以上几个公式可以在大多数情况下代替连锁律使用，它们比连锁律更容易使用。

所有连锁律公式dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

d/dx(yn)=[ny(n-1)](dy/dx)

d/dx[(ax+b)n]=an(ax+b)(n-1)

d/dx(1/y)=(-1/y2)(dy/dx)

d/dx(1/yn)=[-n/y(n+1)](dy/dx)

d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)1

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学