[科普中国]-维维亚尼曲线

维维亚尼曲线(Viviani curve)是一种特殊曲线，球面x²+y²+z²=a²与圆柱面x²+y²-ax=0的交线。它的参数方程可写作r(t)=(a cos²θ，a cos θ sin θ，a sinθ)，θ∈[0，2π]，是由球面上经度与纬度相等或成相反数的点组成的。维维亚尼(V.Viviani)在整理和修复佛罗伦萨图书馆所藏的东方学者对阿波罗尼奥斯(Apollonius，(P))所著《圆锥曲线论》第5卷的评注时，于1692年正式提出了佛罗伦萨之迷：求一个教堂的半球形屋顶的面积，在屋顶的四面挖去相同的圆孔形窗户，此即球面与两个柱面的交线，这个问题曾经引起过许多数学家如约翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)、沃利斯(J.Wallis)和洛必达(L′Hospital，G.-F.-A.de)的重视，特别是早在1689年，莱布尼茨(G.W.Leibniz)还从德国到意大利去会见维维亚尼，并用积分法给出此问题的解法1。

基本介绍维维亚尼曲线是由方程组

确立的曲线，其中第一个方程代表球面，第二个方程代表圆柱面，维维亚尼曲线即是两个面的交线。

维维亚尼曲线的参数方程由维维亚尼曲线：

圆柱面的方程即方程（2）可以写为

由圆的参数方程可得

代入中即得

故得所求的交线的参数方程为：

例题解析【例1】一个半径为a的球面与一个直径为小于球面半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼(Viviani)曲线，这条曲线的方程可以写为试求此曲线对三个坐标面的射影柱面方程。 ．

分析 求曲线对于坐标面的射影柱的方程一般通过消变量的方法，这里要注意变量的范围2。

解 显见，曲线对xOy面的射影柱面为圆柱面，

消去y得

由，知

故

从而曲线对xOz面的射影柱面是抛物柱面满足的部分。

消去x得

从而曲线对yOz面的射影柱面方程为

【例2】求维维安尼(Viviani)曲线

关于三个坐标面的投影柱面。

解 所给方程中不含z，故它就是曲线关于XOY面的投影柱面方程，将其化为可看出该投影柱面是一个圆柱面，将所给两个方程相减可得，可见曲线关于XOZ面的投影柱面是一个抛物柱面，从后一个投影柱面方程解出x，代入前一个投影柱面方程可得，这就是曲线关于YOZ面的投影柱面(图2)。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学