[科普中国]-阿达马不等式

阿达马不等式(Hadamard inequality)是一种特殊不等式，指矩阵的子行列式所满足的一个不等式。设V是n维欧氏空间，V中向量α1，α2，…，αs的格拉姆矩阵A的行列式的平方小于等于诸向量αi的内积的乘积，由此可导出阿达马不等式1。

基本介绍对欧氏空间中任意s个向量 ，必有

而等号成立的充要条件是： 。也即两两正交。（1）式称为广义阿达马不等式。

之所以称(1)式为广义阿达马不等式，是因为n阶实方阵A= 的n个列可以看作带有内积 的实数域R上的

n维列向量R(n)(即欧氏空间R(n))中的n个列向量，而，故得

(其中)，这就是通常的阿达马不等式。

不等式(2)有以下几何意义：

平行多面体的体积不超过两个互补“面”的体积的乘积，而等于这一乘积的充分必要条件是这些“面”互相正交或者在乘积中至少有一个体积等于零2。

相关介绍设是欧氏空间V中任意s个向量，下述s阶阵

为的格兰姆矩阵。称为的格兰姆行列式2。

格兰姆矩阵是个有广泛应用的矩阵，它有如下的基本结论：

定理1 欧氏空间V中向量的格兰姆矩阵必是半正定阵，而是正定阵的充要条件是线性无关。

证明 当线性无关时，作线性包L()，则它对V的内积来说仍是一个欧氏空间，而是L()的基，故是度量矩阵，因而是正定阵。故>0。

当线性相关，例如是的线性组合:，将的第s列减去第1列的k1倍、第2列的k2倍、…，第s-1列的ks-1倍，并应用内积的线性性质可得

(因；i=1，2，…，s)。

根据上述两点，对任意s个向量，恒有：≥0。但因的任何k阶主子阵显然也是格兰姆矩阵，故它的行列式不小于零，所以是半正定阵。再由上述两点知，是正定阵的充要条件是，线性无关。

由定理1的证明过程，可得推论1及广义阿达马不等式。

推论1 欧氏空间V的任意s个向量的格兰姆行列式≥0，而等号成立的充要条件是，线性相关。

由于格兰姆矩阵的半正定(正定性)，使我们可以充分运用半正定阵与正定阵的理论去得到更多有用的结论。例如，由正定阵行列式的不等式估计式显然可得广义阿达马不等式2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学