[科普中国]-库利奇大上定理

九点圆（又称欧拉圆、费尔巴哈圆），在平面几何中，对任何三角形，九点圆通过三角形三边的中点、三高的垂足和顶点到垂心的三条线段的中点。九点圆定理指出对任何三角形，这九点必定共圆。

简介库利奇大上定理是关于共点圆的定理。若过圆周上四点的任三点作三角形，则所作四个三角形的九点圆的圆心都在同一圆上。过这四个九点圆圆心的圆，称为同一圆上四点构成的四边形的九点圆。

若过圆周上五点的任四点作四边形，过这五个九点圆圆心的圆，称为同一圆上五点所构成的五边形的九点圆，这样可继续给出六点、七点……的情形。1

历史1765年，莱昂哈德·欧拉证明：“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆（六点圆）。”许多人误以为九点圆是由而欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆。而第一个证明九点圆的人是彭赛列（1821年）。

1822年，卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆，并得出“九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切”，因此德国人称此圆为费尔巴哈圆，并称这四个切点为费尔巴哈点。库利奇与大上分别于1910年与1916年发表库利奇-大上定理“圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆。”这个圆还被称为四边形的九点圆，此结果还可推广到n边形。

九点圆九点圆的半径是外接圆的一半，且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。 圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。 九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切（费尔巴哈定理）。

圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆（库利奇-大上定理）。

共点圆(concurrent circles)

共点圆是平面几何术语，指多个圆的一种特殊位置关系。

若干圆都通过同一个点称为共点圆。在同一圆周上的若干点称为共圆点，或称作这些点共圆。我们知道共圆点的种类有很多。大致可以分为三点共圆、四点共圆、多点共圆。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学