[科普中国]-可逆线性变换

可逆线性变换(invertible linear transformation)亦称非退化线性变换，或满秩线性变换，是一种特殊的线性变换，设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换，若存在V的变换τ，使στ=τσ=I，其中I为单位变换，则σ称为可逆线性变换，τ称为σ的逆变换，V上的可逆线性变换σ的逆变换仍为V的线性变换，且是惟一的，记为σ-1。线性空间的可逆线性变换的集合，对于变换的乘法构成乘法群，称为非奇异线性变换群1。

可逆线性变换的定义设σ是线性空间V的一个线性变换，如果存在V的另一个变换τ，使得

则称线性变换σ为可逆的，并称τ为σ的逆。

显然，当σ可逆时，它的逆是唯一的，将σ的唯一逆记为σ-1。

线性变换σ的逆σ-1也是V的线性变换，称为σ的逆变换。

当σ是可逆线性变换时，还可以定义σ的负整数次幂σ-n=(σ-1)n，其中n是非负整数。

这样，对于可逆线性变换σ来说，

其中m，n可以是任意整数2。

相关性质及证明定理1 设σ是线性空间V的一个线性变换，称：

Ker(σ)= {α∈V|σ(α)=0}

为σ的核；称：

Im(σ) =σ(V) = {σ(α)|α∈V}

为σ的像(或值域)，Ker(σ)与σ(V)都是V的子空间，且：

dim Ker(σ) + dimσ(V) =n.

证明：容易看出Ker(σ)是V的子空间。现在证明:σ(V)也是V的子空间2。

设ξ，η是σ( V)的任意两个向量，那么总存在α,β∈V，使得ξ=σ(α)，η=σ(β)，因为σ是V的线性变换，于是对于任意a,b∈F，有：

aξ+bη=aσ(α) +bσ(β) =σ(aα+bβ)∈σ(V)，

这就证明了σ(V)也是V的一个子空间。

设dim Ker(σ) =r,在Ker(σ)中取一个基{α1;...,αr}，它可以扩充为V的一个基{α1;...,αr,αr+1;...,αn}，则：

{σ(αr+1),...,σ(αn)}

是像空间σ(V)的一个基。事实上，显然有：

σ(V)=span{σ(α1),.. ,σ(αr),σ(αr+1),.. ,σ(αn)}.

注意到σ(α1)=σ(α2)=...=σ(αr)=0，因此：

σ(V) =span{σ(αr+1),...,σ(αn)}.

若 ∈F使得kr+1σ(αr+1)+...+knσ(αn)=0，则：

σ(kr+1αr+1+...+knαn)=0,

于是，kr+1αr+1+...+knαn∈Ker(σ)，因此存在 使得：

kr+1αr+1+...+knαn=k1α1+...+knαn

又α1;...,αr,αr+1;...,αn线性无关，故k1=...=kr=kr+1=...=kn=0，由此可见:σ(αr+1),...,σ(αn)线性无关，因此σ(αr+1),...,σ(αn)组成σ(V)的一个基，并且dimσ(V) =n-r，故dim Ker(σ) + dimσ(V) =n。

怎样来判别一个线性变换是否可逆呢?一般来说，一个变换可逆的充分必要条件是这个变换既是单射又是满射。但是，从定理1出发，可以得到有限维线性空间上的线性变换具有一个很好的性质。

推论1 n维线性空间V.上的线性变换σ是单射的充分必要条件是σ是满射。

证明显然，线性变换σ是单射的充分必要条件为Ker(σ)= {0}，而：

Ker(σ)={0} dim Ker(σ)=0 dimσ(V)=n σ(V)=V，

因此，线性变换σ是单射的充分必要条件是σ是满射。

对于线性空间V和W之间的线性映射σ，同样可以引进核Ker(σ)与σ(V)像的概念，并且可以证明:Ker(σ)是V的子空间，σ(V)是W的子空间2

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学