[科普中国]-哈密顿一凯莱定理

哈密顿-凯莱定理(Hamilton-Cayley theorem)是矩阵的一个重要性质，该定理表述为：设A是数域P上的n阶矩阵，f(λ)=|λE-A|=λn+b1λn-1+…+bn-1λ+bn是A的特征多项式，则f(A)=An+b1An-1+...+bn-1A+bnE=0。哈密顿(W.R.Hamilton)在他所著《四元数讲义》一书中，涉及线性变换满足它的特征多项式的问题，凯莱(A.Cayley)在1858年的一篇文章中，对n=3的情形验证了此定理，但认为没有必要进一步证明，弗罗贝尼乌斯(F.G.Frobenius)于1878年给出该定理第一个一般性的证明1。

基本介绍下面讨论方阵A的特征多项式的一个重要性质——Hamilton-Cayley定理，为证明此定理，先作以下准备：

以F[λ]中的多项式为元素的矩阵称为λ-矩阵，记为A(λ)，B(λ)，...，例如

是一个λ-矩阵，按照矩阵加法，数量乘法的定义，A(λ)可以写成

其中λi的系数都是F上的矩阵，显然这种表示法是惟一的。一般地，一个m×n的λ-矩阵A(λ)可以惟一表示成多项式：

A(λ)=λmA0+λm-1A1+...+λAm-1+Am ， （1）
其中是数域F上m×n矩阵，(1)式右端称为矩阵多项式，若A0≠0,m称为矩阵多项式的次数。

**定理1(Hamilton-Cayley定理)**设A是数域F上的n阶矩阵，f(λ)=|λE-A|是A的特征多项式，则2

哈密顿-凯莱定理的证明证明设B(λ)是矩阵λE-A的伴随矩阵，则：

B(λ)(λE-A)=|λE-A|E=f(λ)E. (2)

因为B(λ)的元素是|λE-A|的元素的代数余子式，所以B(λ)的元素是次数不超过n-1的λ的多项式，因此B(λ)可写成：

因而

由A的特征多项式f(λ)是n次的，可设

则

由(2)式，比较(3),(4)两式得

依次用右乘(5)的第1,2,...,n+1式，得

上式两端分别相加，左边为0，右边为f(A)，故f(A)=0，定理得证2。

用线性变换的语言叙述Hamilton-Cayley定理：

定理2 设σ是n维线性空间V的线性变换，f(λ)是σ的特征多项式，那么f(σ)=0。
下面利用Hamilton-Cayley定理将线性空间按特征值分解成不变子空间的直和。

定理3设V是数域F上的n维线性空间，V的线性变换σ的特征多项式是f(λ)，它可以分解成

这里,当时,则V可分解成σ子空同的直和

其中。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学