[科普中国]-欧几里得定理-

欧几里得定理是数论中的基本定理，定理指出素数的个数是无限的。该定理有许多著名的证明。

欧几里得的证明欧几里得在他的著作《几何原本》（第九卷的定理20）提出了证明，大意如下：

对任何有限素数的集合。在这里将会证明最少存在一个集合中没有的额外素数。令和。那么q是素数或者不是，二者必居其一：

1、如果q是素数，那么至少有一个素数不在有限素数集中。

2、如果q不是素数，那么存在一个素数因子p整除q，如果p在我们的有限素数集中， p必然整除 P(既然 P是素数有限集中所有素数的积)；但是，已知 p整除，如果 p同时整除P和q， p必然整除 P和q之差—— 。但是没有素数能整除1，即有p整除q就不存在 p整除P。因此p不在有限集中。

这证明了：对于任何一个有限素数集，总存在一个素数不在其中。所以素数一定是无限的。

很多时候有人会错误地指出欧几里得是用了反证法，他们假设证明起初考虑的是所有自然数的集合，或是集合内含有n个最小的素数，而不是任何任意的素数集合。欧几里得证明用的不是反证法，而是证明了一个有限集合中没有任何拥有特殊性质的元素。当中并没有反论的部分，但集合中的任何元素都不可以整除1。

文献中存在数个版本的欧几里得证明，包括以下的：

正整数n的阶乘n!可被2至 n的所有整数整除，这是由于它是这些数全部的乘积。因此并不能被 2至 n（包括 n）的任何自然数所整除（所得的余数皆为1）。因此有两个可能性：是素数，或者能被大于 n所整除。在任一个案中，对所有正整数n而言都存在最小一个比n大的素数。所以结论就是共有无限个素数。

欧拉的证明另一个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的证明，则使用了算术基本定理：每一个自然数都有一组独一无二的素因子排列。设P为所有自然数的集合，欧拉写下了：

第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数的欧拉乘积。为了证实此点，可把乘积分配进和里面：

在这个结果中，每一个素数积都出现了正好一次，因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。

右边的和是发散的调和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积内每一个项都是有限的，所以其项数必须为无限；因此得出共有无限个素数。

埃尔德什的证明埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数都能被写成独一无二的。其中非平方数，或任何平方数的倍数（设为能整除的最大平方数，并使）。此时假设素数的数量为有限，且其数量为。由于每个素数只有一个非平方数的因子，所以根据算术基本定理，得出共有非平方数个。（见组合#在集合中取出k项元素及）

现在把一个正整数固定，并考虑1与之间的自然数。这些数每一个都能被写成，其中为非平方数，为平方数，例如：

集合中共有个不同的数。每一个都是由非方数和比小的平方数组成。这样的平方数共有（见高斯符号的取底符号）。然后把这些小于的平方数乘积与其余所有的非平方数相乘。这样得出的数一共有个，各不相同，因此它们包括了所有我们集合里的数，甚至更多。因此，。

由于此不等式对足够大的并不成立，因此必须存在无限个素数。

近期的证明皮纳西科胡安·帕布洛·皮纳西科（Juan Pablo Pinasco）写下了以下的证明。

设为最小的个素数。然后根据容斥原理可得，少于或等如又同时能被那些素数中其中一个整除的正整数的个数为

把全式除以，并且让，得

上式可被改写为

若除了以外不存在其他素数的话，则式(1)与相等，而式(2)则等于，但很明显地式(3)并不等于1。因此除了以外必须要存在其他素数。

黄俊浩·彼得·黄（Junho Peter Whang）于2010年发表了使用反证法的证明。设{\displaystyle k}为任何正整数，{\displaystyle p}为素数。根据勒让德定理，则可得：

其中

但若只存在有限个素数，则

（上式分子呈单指数增长，但斯特灵公式指出分母的增长速度比分子快），这样就违反了每一个的分子要比分母大的这一点。

塞达克菲利浦·塞达克（Filip Saidak）给出了以下的证明，当中没有用到归谬法(而大部分欧几里得定理的证明都用了，包括欧几里得自己的证明)，而同时不需要用到欧几里得引理，也就是若素数整除则也必能整除或。证明如下：

由于每个自然数（）最少拥有一个素因子，所以两个相邻数字和必定没有共同因子，而乘积则比数字本身拥有更多因子。因此普洛尼克数的链：
1×2 = 2 {2}, 2×3 = 6 {2, 3}, 6×7 = 42 {2,3, 7}, 42×43 = 1806 {2,3,7, 43}, 1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·
提供了一组素数集合无限增长的数列1。