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[科普中国]-霍普夫代数

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在数学中,霍普夫代数是一类双代数,亦即具有相容的结合代数与余代数结构的向量空间,配上一个对极映射,后者推广了群上的逆元运算。霍普夫代数以数学家海因茨·霍普夫命名,此类结构广见于代数拓扑、群概形、群论、量子群等数学领域。

定义所谓霍普夫代数,是指一个域上的双代数,配上一个线性映射(称为对极映射),使得下述图一表交换。

利用 Sweedler 记号,此定义亦可表为

对极映射可理解为对卷积之逆,故其若存在必唯一。当,则称对合的;交换或余交换霍普夫代数必对合。

根据定义,有限维霍普夫代数的对偶空间也带有自然的霍普夫代数结构。

例子群代数. 设为群,可赋予群代数下述霍普夫代数结构:

有限群上的函数. 设为有限群,置为所有的函数,并以逐点的加法与乘法使之成为结合代数。此时有自然的同构。定义:

仿射代数概形的座标环:处理方式同上。

泛包络代数. 假设是域上的李代数,置为其泛包络代数,定义:

后两条规则与交换子相容,因此可唯一地延拓至整个上。1

李群的上同调李群的上同调代数构成一个霍普夫代数,其代数结构由上同调的上积给出,余代数结构则来自群乘法 ,由此导出

对极映射来自。这是霍普夫代数的历史起源,事实上,霍普夫借着研究这种结构,得以证明李群上同调的结构定理:

定理(霍普夫,1941年).

上的有限维分次交换、余交换之霍普夫代数,则(视为-代数)同构于由奇数次元素生成的自由外代数。

量子群与非交换几何主条目:量子群

上述所有例子若非交换便是余交换的。另一方面,泛包络代数的某些“变形”或“量子化”可给出非交换亦非余交换的例子;这类霍普夫代数常被称为量子群,尽管严格而言它们并不是群。这类代数在非交换几何中相当重要:一个仿射代数群可以由其座标环构成的霍普夫代数刻划,而这些霍普夫代数的变形则可设想为某类“量子化”了的代数群(实则非群)。2

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学