[科普中国]-一元n次方程-

一元n次方程(equation of degree n with one unknown)是一元n次多项式所确定的方程，指方程a0xn+a1xn-1+…+an=0 (a0≠0)，当n≥3时，称为高次方程.研究一元n次方程的根，包括根的存在、根式解、根的界和根的个数等，曾经是代数学的中心问题，一元n次方程的系数和有理常数以及对这些数进行加、减、乘、除和开整数次方的符号组成的式子，称为方程的根式，根式解就是求将代数方程的根用方程系数的根式表达出来，n次方程的根式解，亦称为代数解法，三次方程与四次方程的根式解于16世纪由意大利数学家给出，此后自然地开始寻求五次以及五次以上代数方程的根式解，这种尝试一直继续近三个世纪，经过莱布尼茨(G.W.Leibniz)、范德蒙德(A.-T.Vandermonde)、拉格朗日(J.-L.Lagrange)、鲁菲尼(P.Ruffini，)等人的艰辛努力，直到19世纪才由阿贝尔(N.H.Abel，)解决，他证明了一般的n (n≥5)次方程不能用根式解，不久伽罗瓦(E.Galois，)用群论方法得出了方程可用根式解的充分必要条件1。

基本介绍如果f(x)是一元n次多项式，那么f(x)=0叫做一元n次方程，一元n次方程的一般形式是：

f(x)=anxⁿ+an-1xⁿ-1+…+a1x+a0=0 (其中an≠0，n∈N.)……①

当n>2时，称为一元高次方程。

(1)若ai(i=0，1，2，…，n)是复数，则称方程为复系数一元n次方程，n>2时为复系数高次方程。

(2)若ai(i=0，1，2…，n)是实数(或有理数、整数)，则称方程①为实系数(或有理系数、整系数)一元n次方程.n>2时，也称实系数(或有理系数、整系数)高次方程.。

(3)如果有α，使得f(α) =0，则α是方程f(x)=0的根2。

一元n次多项式的解一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程分别有一个根、二个根、三个根，它们都可以用代数解法来解，并且有求根公式。可以证明一元四饮方程有四个根，并且可以用代数解法求解。当n > 4时，根据伽罗华理论，一般形式的n次方程不能用代数解法来解3。

关于一元n次方程的根的个数，我们有以下定理和推论。

定理1 (代数基本定理)一元n次方程至少有一个根。

如果f (x )的次数大手1, 那么根据定理1可以知道，方程f (x) =0至少有一个根，设这个根是α，那么由于f(α) =0，根据因式定理可以知道， f(x)=(x-α)q(x).，因为x-α和q (x)的次数都低于f(x)的次数，所以f(x)可约，由此我们得到:

推论1 任何次数大于1的多项式都是可约的3。

推论2 f(x)=a0xⁿ+a1xⁿ-1+…+an-1x+an=0 (其中a0≠0，n∈N)的标准分解式是

式中都是正整数，

根据f (x)的标准分解式可以知道，如果x=αi(i=1,2,...,),那么f(αi) =0,所以αi是方程f(x)=0的根。这就是说，f(x)的毎一个一次因式的根都是方程f(x)=0的根，如果x-αi是f (x)的k重因式，那么就说αi是方程f(x)=0的k重根，在讨论根的个数吋，k重根当作k个计算。

例如，方程(x-2)3(x+1)2(x-1)=0有三重根2，二重根-1，単根1，因此，这个方程一共有6个根。

定理2一元n次方程有n个根并且只有n个根。

证根据定理1的推论2，任何一个一元n次方程f(x)=0，如果把f(x)分解成标准分解式，就得

式中都是正整数，

因为方程有k1重根α2,k2重根α2,..., kl重根αl，共有k1+k2+...+kl=n个根，又因为f (x)的标准分解式是唯一的，所以f(x)=0有n个根并且只有n个根。

下面是一元n次方程的根和系数的关系的定理。

定理3 (韦达定理)如果一元n次方程f(x)=a0xⁿ+a1xⁿ-1+…+an-1x+an=0 (其中a0≠0，n∈N)的根是，那么