[科普中国]-魏尔斯特拉斯椭圆函数

在数学中，魏尔斯特拉斯椭圆函数又称ρ函数，是格外简单的一类椭圆函数，也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。

定义固定 中的格 （ 在 上线性无关1），对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是

。

显然右式只与格 相关，无关于基 之选取。 的元素也称作周期。

另一方面，格 在取适当的全纯同态 后可表成 ，其中 属于上半平面。对于这种形式的格，

。

反之，由此亦可导出对一般的格之公式

在数值计算方面， 可以由Θ函数快速地计算，方程是

在周期格中的每个点， 有二阶极点。

是偶函数。

复导函数 是奇函数。

加法定理 假设 ，上式有一个较对称的版本

此外

魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式：若 不是周期，则

微分方程与积分方程定义 （依赖于 ）为

求和符号 意谓取遍所有非零的 。当 时，它们可由艾森斯坦级数表示。

则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程

故 给出了从复环面 映至三次复射影曲线 的全纯映射；可证明这是同构。

另一方面，将上式同除以{\displaystyle \wp '}，积分后可得

右侧是复平面上的路径积分，对不同的路径 ，其积分值仅差一个 的元素；所以左式应在复环面 中考虑。在此意义下，魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆2。

模判别式续用上节符号，模判别式定义为下述函数

视为周期格的函数，这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学