[科普中国]-超越不等式

超越不等式(transcendental inequality)是一种特殊不等式，指含超越式的不等式，例如sin x-cos y≤1，log3(x2-2x)>0等，除指数不等式、对数不等式、三角不等式、反三角不等式外，凡含超越式、其他代数式的有限次代数运算及有限次复合的不等式都是(初等)超越不等式1。

基本介绍有理不等式和无理不等式统称代数不等式，除了代数不等式外，还有一类不等式，就是诸如指数不等式、对数不等式、三角不等式、反三角不等式等，统称为超越不等式，所谓“超越”指的是函数绝不能仅仅依靠对变量实施代数运算而得到，也就是它“超出”代数运算的范围2。

解超越不等式的方法解上述几种初等超越不等式，主要有两种方法：一是将超越函数(指指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等)用新变量代替，此即换元法；另一是利用超越函数(指上述四种函数)的单调性，将其转化为代数不等式求解，此即函数单调性法2。其次还有分类讨论法，即当不等式中指数函数或对数函数的底与1比较其范围不确定时，需对其底进行分类讨论，才能求得其解。还有化同底法，当指数与对数不等式中底不相同时，可设法化成同底的指数与对数不等式来解，这里对数的换底公式是一个很好的工具。其次还可以用图解法，例如对高次不等式与超越不等式，都可以借助于函数图象来求解。例如原不等式化为令 在同一坐标系中，如图1，分别作出两函数的图象，得两交点之横坐标为x1=1, x2≈4.5，由此知原不等式的近似解为：1