[科普中国]-完全三角形方程组

完全三角形方程组是一种特殊的线性方程组。系数矩阵是对角元素全不为零的上（下）三角方阵的线性方程组叫做完全上（下）三角形方程组，简称完全三角形方程组。完全三角形方程组有唯一解。

简介完全三角形方程组是一种特殊的线性方程组。形如

的方程组称为完全三角形方程组，其中对角线上的系数a11，a22，...，ann都不等于零。在完全三角形方程组中，方程的个数等于未知数的个数；任何完全三角形方程组有惟一解。求解时可用“逐步代入法”，即先从第一个方程求出x1，代人第二个方程求出x2，将x1与x2之值代人第三个方程求出x3，如此继续下去，直到求出每个未知数值。1

截三角形方程组系数矩阵是对角元素全不为零的上（下）三角方阵的线性方程组叫做完全上（下）三角形方程组，简称完全三角形方程组。完全三角形方程组有唯一解。

截取某个完全上（下）三角形方程组的后（前）几个方程构成的方程组叫做截三角形方程组。解三角形方程组有无数多组解。2

线性方程组简介线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。

解法①克莱姆法则。用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

②矩阵消元法。将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学