[科普中国]-数系扩充原则

数系扩充原则(principle of extension of a number system)是数系扩充的基本法则，它是在人类认识和运用数的历史发展过程中，逐步形成的、不断扩大数的范围的一些基本原则。这些原则是：1.从数系A扩充到数系B必须是A⊂B，即A是B的真子集；2.数系A中定义了的基本运算能扩展为数系B的运算，且这些运算对于B中A的元来说与原来A的元间的关系和运算相一致；3.A中不是永远可行的某种运算，在B中永远可行，例如，实数系扩充为复数系后，开方的运算就永远可行，再如，自然数系扩充为整数系后，减法的运算就能施行等；4.B是满足上述条件的惟一的最小的扩充，例如，自然数系只能扩充为整数系，而不能一下扩展为实数系。还有一点必须明确：数系A的每一次扩充，都解决了原来数系中的某些矛盾，随之应用范围扩大了。但是，每一次扩充也失去原有数系的某些性质，比如，实数系扩充到复数系后，实数系的顺序性质就不复存在，即在复数系中不具有顺序性。数系的扩充，一般采用两种形式：一种是首先从理论上构造一个集合，即通过定义等价集合来建立新的数系，然后指出新的数系的一部分集合是和以前的数系同构的；另一种扩充形式则是把新元素加到已建立的数系中而扩充1。

基本介绍在每一次数系扩充中，人们都遵守了如下几条原则：

①扩充的目的:在原数集中某种运算不封闭，在扩充后的新数集中该运算封闭;

②扩充后的集合要扩大:进行的每一次扩充都是从一个较小的原数集扩充到一个较大的新数集,且使得原数集是新数集的一部分;

③保持原有的运算:进行扩充时,要使原数集中所能够进行的运算在新的数集中有意义,并且当把原数集中的数看成新数集中的数进行运算时,其结果应与它们在原数集中所得到的结果完全相同;

④扩充的最小性与唯一性:要使扩充后的新数集是原数集满足以上的①、②、③原则的最小扩充，并且该扩充是唯一的。

我们已经看到，数集的每一次扩 充,人们都能够解决一 些在原数集中不能够解决的问题。

说得通俗或更简单一些的话，从自然数集N*到有理数集Q的扩充最主要实现了(扩充的意义):

解决原来数系N*中不能解决的问题；

新数系Q中，交换律结合律、分配律保持不变2。

数系扩充的其他说明数系扩充需要定义一些新数的运算。

从自然数集N*到有理数集Q因为引人了新的符号，如“-1”、“0”、“”等,我们必须定义它们的运算,才能使得在原来数系N*中的运算规律一交换律、结合律、分配律保持不变,和那些已有的运算性质相容，否则扩充就失去了意义。

首先，定义(一1)·1=-1以及1+(-1)=0显然是合理的(与生活实际相符合)。

那么,又该如何定义(-1)·(-1)?

欧拉曾认为(-1)·(-1)必须等于1或者-1。那么，为什么规定(-1)·(-1)=1?①

如果(-1)·(-1)=-1,会怎样?

来看乘法对加法的分配律:a·(b+c)=a·b+a·c。令a=-1，b=-1，c=1，则有:

(-1)·((-1)+1)= (-1)·(-1)+(-1)·1= (-1)+(-1)=-2。

但是(-1)·((- 1)+1)=(-1)·0=0。于是产生矛盾。仍然看这个问题——为什么规定 (-1)·(-1)=1?

让我们换一种表述方式。

再次来看乘法对加法的分配律:a·(b+c)=a·b+a·c。

我们可以仍然令a=-1,b=-1, c=1。

于是我们便可以得到:

(-1)·((-1)+1)= (-1)·(-1)+(-1)·1= (-1)·(-1)+(-1)。

同时我们又有(-1)·((-1)+1)=(-1)·0=0。由于1+(- 1)=0，故必须使得(-1)·(-1)=1才能保证等式成立。

对于为什么(-1)·(-1)=1，《x的奇幻之旅》提供了这样一种解释。首先我们需要理解(-1)·3的意思。书中用借钱和还钱来解释:如果你每周向我借1元钱,那么3周以后你一共欠我3元钱。在理解了(-1)·3的意思后,再进一步地理解“负负得正”的规律。

书中罗列了这样几行算式:

(-1)·3=-3

(-1)·2=-2

(-1)·1=-1

(-1)·0=0

(-1)·(-1)=?

看以上式子等号右边数字的规律,每个算式的得数比上一个算式的得数增加1。所以从逻辑上来说,(- 1)·(一1)必须等于1。这样解释的优点是，它保留了正常数学的运算规律:适用于正数的规律也适用于负数。

又如，为什么规定0不能作除数?即像这样的符号“”、“”等为什么无意义?②

按照分数的定义:对于a·x=b,a, b∈Z，引进符号“”,并使之服

从于,则。

让我们来“演绎”(从一般到特殊)一下该定义(做一点微乎其微的形式推导),令a=0,b=1,若让符号““”服从于0,“,则x=。但是

我们应有0·x=0。于是产生矛盾。所以“”、“”等,像这样的符号无意义,亦即0不能作除数。

《什么是数学》中说:“对数学家来说，经过了很长一段时间才认识到‘符号规则’(如①)，以及负数、分数所服从的其他定义(或规定，如①)是不能加以‘证明’的。它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如。能够并且必须加以证明的是，在这些定义的基础上.算术的交换律结合律、分配律保持不变。”

以上通过引进三个符号一“0”(零)、“-”(负号)和“二”(分 数),从

自然数系直接到有理数系的扩充是在数系扩充理论的基础上来梳理的，不过这和历史事实应该是有出人的。正如初中教材序言部分是这样叙述的:“开始，先有自然数,接着出现了分数和小数;引人负数之后,数的范围扩“大到了有理数。”

《数学史概论》上有这样一句话:“直到18世纪的数学家还谈不上有己整的数系概念和建立数系的企图。他们在具体的研究中已经认识了整数，有理数，无理数和复数，但对接受负数与复数还存在疑虑和争议2。”

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所