[科普中国]-谢尔品斯基猜想

谢尔品斯基猜想（Sierpiski conjecture）是关于单位分数的著名猜想。该猜想可表述为：当n较大时，真分数m/n 能表示成三个单位分数(不一定相异)的和。1

谢尔品斯基猜想谢尔品斯基猜想（Sierpiski conjecture）是关于单位分数的著名猜想。该猜想可表述为：当 为正整数， ，且 较大时，不定方程

一定有正整数解。1

古埃及的兰德纸草书上就记载了用单位分数 表示真分数的方法。后来知道任何真分数 都能表为两个或三个相异的单位分数的和：

1950年，爱尔特希(Erdo¨s，P.)猜想 能表示成三个相异的单位分数的和。

谢尔品斯基(Sierpiski，W.)猜想 也能表示成三个单位分数的和。

谢尔品斯基还进一步猜想：在 较大时，真分数 都能表示成三个单位分数(不一定相异)的和，即上述不定方程有正整数解。这里要限定 较大，是因为 较小时发现有猜想不成立的例子。比如已证明 至少需要4个单位分数的和才能表示它。至今还未能证明上述猜想是否成立。1

有关欧拉函数的谢尔品斯基猜想所谓欧拉函数 指的是，在 中与 互素的整数的个数。有关欧拉函数取值的谢尔品斯基猜想表述如下：

设 为一给定的正整数，它可以作为 值出现的次数，即满足 的不同的正整数 的个数，称为整数 的重数。2

例如，6的重数是4，这是因为当且仅当 时， 成立。由于对于 均为偶数，故对于所有大于1的奇数 ，它们的重数都是0。重数为0的偶数有

等。它们都是使方程 没有整数解 的 。在小于 范围内，这样的偶数有26663个。2

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杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所