[科普中国]-对顶多面角

对顶多面角(vertically opposite polyhedral angles)是两个特殊相关的多面角，指具有公共顶点且关于顶点成中心对称的两个多面角，它们反向相等1。将一个多面角的每一条棱过它的顶点反向延长，组成另一个多面角，这两个多面角称为对顶多面角，它是具有特殊位置关系的对称多面角2。

定义如果将一个多面角的每一条棱过它的顶点延长，就组成了另一个多面角，这两个多面角叫做对顶多面角3。如图1中，将多面角V-ABCD的各棱过它的顶点V延长，组成多面角V-A₁B₁C₁D₁，这样，多面角V-ABCD和多面角V-A₁B₁C₁D₁叫做对顶多面角。

很显然， 这两个对顶多面角的面角AVB、BVC、...、DVA和A₁VB₁、B₁V₁C₁、...、D₁VA₁是分别相等，且它们的二面角VA、VB、... 、VD和VA₁、VB₁、.. VD₁也分别相等。

如果将多面角V-A₁B₁C₁D₁转动，使棱VA₁同着VA相合，则多面角V-ABCD的各个棱VA、VB、VC...排列的顺序是成反时针方向，而多面角V-A₁B₁C₁D₁的各个棱VA₁、VB₁、VC₁...排列的顺序是成顺时针方向3。

相关介绍如果两个面数相同的多面角，它们对应的面角和二面角分别相等，但排列的顺序相反，这两个多面角，叫做对称多面角。

显然，对顶多面角是具有特殊位置关系的对称多面角。

如图2中，多面角V-ABC和多面角V-A₁B₁C₁是对称多面角，MN是∠CVA₁的平分线，如果把多面角V-A₁B₁C₁绕着MN为轴翻转一个平角，则棱VA₁和VC相重合，棱VC₁和VA相重合，且两个面角A₁VC₁和AVC相重合。

但是二面角VA₁不一定等于二面角VC，因此二面角VA₁也就不一定能和二面角VC重合，所以平面A₁VB₁也不一定和平面CVB重合。同样地两个平面C₁VB₁和AVB也不一定重合，因而棱VB₁可以落到另一个位置如VB₂，但和VB不相重合。

可知：两个多面角V-ABC和V-A₁B₁C₁，虽然它们是成对称，但它们的对应部分却不一定都处处重合，也就是这两个多面角不一定是全等的。

关于这一点，我们可以想象到常用的手套，可以把两只手套排成对称形，但是如果要把它的一只套在另一只上面，由于手心、手背以及五个指头的顺序不同，是不可能的。

只有两个面数相同的正多面角，它们既是成对称(即镜照相等)，又是全等的。所以我们又得到定理：两个对称多面角是成镜照相等，但不一定全等3。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所