[科普中国]-直线形

直线形(rectilinear figure)是一类简单的几何图形，指由直线、射线、线段组成的图形，直线形常把它所划分的内部区域包括在内1。

基本介绍按照不同的标准对这些图形进行分类。从维数的角度来分类，一维图形有点、线段、射线、直线等，二维图形有角、相交线、平行线、三角形、四边形等，三维图形有柱、锥、球等。对于平面图形而言，还可以按直线形和曲线形来划分，直线形主要有直线、角、三角形、四边形等，曲线形主要是以圆为代表。直线形的基础知识即有关图形如直线、角、平行线、三角形、四边形的概念、定理、性质等2。

从学科角度来认识直线形人类对形的认识，最初是对物体形状的认识，而后发展为对空间性质的认识，进而深化为对抽象的、一般空间形式的研究。这是一个从简单到复杂、从现象到本质的辩证发展过程2。

形概念的产生物体的形状、大小和位置关系是客观存在的。人们对物体形状的认识出自于实践活动的需要。人类对图形的抽象的第一步是描绘物体的外部形象，其核心是把三维空间的物体转化为线条描绘在二维平面上。后来，人们用抽象的几何图形来记述事情和传递信息，这便是象形文字的前身。古希腊哲学家泰勒斯在图形描述的基础上开创了几何学的抽象，据史料记载，泰勒斯发现了下述几何命题并给以证明:等腰三角形的两个底角相等;两直线相交对顶角相等；“角、边、角”对应相等的两个三角形全等。这些命题在我们现在的几何课程中依然是重要的内容。

在几何上，“形”作为一种抽象的形式，抛弃了物体的颜色、重量、组成等属性，只从形状、位置的角度抽象地研究图形。所以，现实世界物体间的关系，反映到几何学中只剩下抽象的图形之间的位置关系和数量关系。从某种意义上说，当具体物体抽象为一般物体来研究时，才真正有了抽象的形的概念，才算有了真正意义上的几何学。

几何学的发展图形成为数学研究对象的真正动力是土地测量等生产实践。相传4000年前，埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是把两岸的土地淹没，水退后，使土地的界线不分明。当时埃及人为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，因此，积累了许多有效的计算土地面积的方法，其中包括计算三角形、长方形、梯形的面积等。后来，希腊人由于跟埃及人通商，从埃及那里学到了测量与绘画等几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。英文“geometry"(几何)一词源于古希腊语γεωμετρια，就是土地测量的意思，因为这个词是由γμ(土地)和μετρτα(测量)复合而成的2。

概括起来，几何学的发展大致经历了四个基本阶段。

(1)实验几何的产生和发展

几何学最早产生于对天空星体形状、排列位置的观察，产生的真正动力在于丈量土地、测量容积、制造器皿与绘制图形等实践活动的需要，人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一~批粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。古代中国、古埃及、古印度、古巴比伦所研究的几何，大体上就是实验几何的内容。

(2)欧氏几何的产生和发展

随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，古埃及的几何知识逐渐传入古希腊。古希腊许多数学家，如泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里得等人都对几何学的研究做出了重大贡献，特别是柏拉图把逻辑学的思想方法引人几何学，确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础。而后欧几里得将公元前7世纪以来古希腊几何积累起来的丰富成果整理成一个严密的逻辑系统，使几何学成为一门独立的、演绎的科学，完成了《几何原本》一书，奠定了欧氏几何(又称推理几何、演绎几何、公理几何、理论几何等)的基础，成为历史上久负盛名的巨著。《几何原本)运用的公理化方法不仅为数学家提供了使其研究工作严谨化的工具，也为其他科学家的研究提供了可借鉴的方法，因此它作为数学史乃至科学史上的一个里程碑，标志着人类思维的一场革命。直到19世纪末，在数学界，欧氏几何与几何学仍然是同义词。同时，《几何原本》作为人们学习几何的标准教材长达2000年之久。

(3)解析几何的产生与发展

《几何原本》的出现为理论几何奠定了基础。与此同时，人们对圆锥曲线也作了一定研究，发现了圆锥曲线的许多性质。法国笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数的对应，从而开辟了用数量计算来刻画图形性质的新途径。解析几何学的出现，大大拓宽了几何学的研究内容，并且促进了几何学的进-步发展。18-19世纪，由于工程、力学和大地测量等方面的需要，又进一步产生了画法几何、射影几何、仿射几何和微分几何等几何学的分支。

(4)现代几何的产生与发展

在欧氏几何与解析几何的发展过程中，人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密，并不断地充实一些公理，特别是在尝试用其他公理、公设证明第五公设“一条直线与另外两条直线相交，同侧的内角和小于两直角时，这两条直线就在这一侧相交”的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。一方面，从改变几何的公理系统出发，即用和欧氏几何第五公设相矛盾的命题来代替第五公设，从而导致几何学研究对象的根本突破。俄罗斯数学家罗巴切夫斯基用“在同一平面内，过直线外一点可作两条直线平行于已知直线”代替第五公设，由此导出了一系列新结论，如“三角形内角和小于两直角”、“不存在相似而不全等的三角形”，等等，后人称为罗氏几何学。德国数学家黎曼从另一角度，“在同一平面内，过直线外任一点不存在直线平行于已知直线”代替第五公设，同样导致了一系列新理论，如“三角形内角和大于两直角”、“所成三角形与球面三角形有相同面积公式”等，又得到另一种不同的几何学，后人称为黎氏几何学。习惯上，人们将罗氏几何、黎氏几何统称为非欧几何学。

3.勾股定理——直线形研究的一个典范

从对直线形的研究来看，三角形的研究是最基本的。从边和角来看，三角形内角和以及三角形的三边关系也是最为重要的两个定理，特别是描述直角三,角形三边关系的勾股定理，它是平面几何有关度量的最基本定理之一，而几何发展史中对于它的研究与认识更是成为直线形的一个典范。古代几乎所有文明的民族都研究了直角三角形，并且在许多古代文明的历史文献中都明确记载了与直角三角形勾股定理关系最密切的三个数值: 3、4、5。据说华罗庚先生曾建议，如果人类想弄清楚外星球上是否存在人，可以发射一种表达勾股定理含义的图形，因为这个图形代表的是人类的文明程度，外星人如果具有一定的文明程度，他们一定会认识这个图形。

在我国，关于勾股定理的相关论述最早记载于《周髀算经》里，将一根直尺折成一个直角，若“勾广三，股修四，则径隅五”。三国时代的赵爽对这个问题给出了一般性的结果并给出了证明，这就是著名的“勾三股四弦五”的勾股定理。古希腊毕达哥拉斯学派也发现了直角三角形的这个性质，正是在利用这个性质求正方形对角线长时，毕达哥拉斯学派发现了无理数。另外，人们发现，在尼罗河三角洲，约公元前2000年的Kahun草纸书上写有这样的问题:将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长为另一个边长的3/4。这个问题的答案恰好是一组勾股数6、8、10。这表明，古埃及人清楚地知道直角三角形以及勾股定理。而古巴比伦与直角三角形的渊源，可以从美国哥伦比亚大学收藏的泥板中找到线索。这块泥板是在巴比伦挖掘出来的，约制作于公元前18世纪，泥板上有三列数字，而这三列数字恰恰是一组勾股数字！2

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方正 - 副教授 - 江南大学