[科普中国]-卡尔曼方程

卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。这个系统可用包含正交状态变量的微分方程模型来描述，这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。1

简介Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随机变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。
首先，要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)

上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，COVariance 分别是Q，R（这里假设他们不随系统状态变化而变化）。

估算对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面结合covariances 来估算系统的最优化输出。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设某刻的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出某刻状态：

X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k)………(1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为某刻状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到某刻为止，系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。用P表示covariance：

P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q………(2)

式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

某刻有了某刻状态的预测结果，然后再收集某刻状态的测量值。结合预测值和测量值，可以得到某刻状态(k)的最优化估算值X(k|k)：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到某刻为止，已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，还要更新k状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。
卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。2

举例下面，用程序举一个实际运行的例子。

举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。

把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，见的模型不需要非常地精确。所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：

X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。
为了令卡尔曼滤波器开始工作，需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。
该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。

方程matlab下面的kalman滤波程序：

clear

N=200;

w(1)=0;

w=randn(1,N)

x(1)=0;

a=1;

for k=2:N;

x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);

end

V=randn(1,N);

q1=std(V);

RVV=q1.^2;

q2=std(x);

Rxx=q2.^2;

q3=std(w);

Rww=q3.^2;

c=0.2;

Y=c*x+V;

p(1)=0;

s(1)=0;

for t=2:N;

p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;

b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);

s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));

p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);

end

t=1:N;

plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');

function [x, V, VV, loglik] = kalman_filter(y, A, C, Q, R, init_x, init_V,varargin)

% Kalman filter.

% [x, V, VV, loglik] = kalman_filter(y, A, C, Q, R, init_x, init_V, ...)

%

% INPUTS:

% y(:,t) - the observation at time t

% A - the system matrix

% C - the observation matrix

% Q - the system covariance

% R - the observation covariance

% init_x - the initial state (column) vector

% init_V - the initial state covariance

%

% OPTIONAL INPUTS (string/value pairs [default in brackets])

% 'model' - model(t)=m means use params from model m at time t [ones(1,T) ]

% In this case, all the abovematricestake an additional final dimension,

%i.e., A(:,:,m), C(:,:,m), Q(:,:,m), R(:,:,m).

% However, init_x and init_V are independent of model(1).

% 'u' - u(:,t) the control signal at time t [ [] ]

% 'B' - B(:,:,m) the input regression matrix for model m

%

% OUTPUTS (where X is the hidden state being estimated)

% x(:,t) = E[X(:,t) | y(:,1:t)]

% V(:,:,t) = Cov[X(:,t) | y(:,1:t)]

% VV(:,:,t) = Cov[X(:,t), X(:,t-1) | y(:,1:t)] t >= 2

% loglik = sum{t=1}^T log P(y(:,t))

%

% If an input signal is specified, we also condition on it:

% e.g., x(:,t) = E[X(:,t) | y(:,1:t), u(:, 1:t)]

% If a model sequence is specified, we also condition on it:

% e.g., x(:,t) = E[X(:,t) | y(:,1:t), u(:, 1:t), m(1:t)]

[os T] = size(y);

ss = size(A,1); % size of state space

% set default params

model = ones(1,T);

u = [];

B = [];

ndx = [];

args = varargin;

nargs = length(args);

for i=1:2:nargs

switch args

case 'model', model = args{i+1};

case 'u', u = args{i+1};

case 'B', B = args{i+1};

case 'ndx', ndx = args{i+1};

otherwise, error(['unrecognized argument ' args])

end

end

x =zeros(ss, T);

V = zeros(ss, ss, T);

VV = zeros(ss, ss, T);

loglik = 0;

for t=1:T

m = model(t);

if t==1

%Prevx= init_x(:,m);

%prevV = init_V(:,:,m);

prevx = init_x;

prevV = init_V;

initial = 1;

else

prevx = x(:,t-1);

prevV = V(:,:,t-1);

initial = 0;

end

if isempty(u)

[x(:,t), V(:,:,t), LL, VV(:,:,t)] = ...

kalman_update(A(:,:,m), C(:,:,m), Q(:,:,m), R(:,:,m), y(:,t), prevx, prevV, 'initial', initial);

else

if isempty(ndx)

[x(:,t), V(:,:,t), LL, VV(:,:,t)] = ...

kalman_update(A(:,:,m), C(:,:,m), Q(:,:,m), R(:,:,m), y(:,t), prevx, prevV, ...

'initial', initial, 'u', u(:,t), 'B', B(:,:,m));

else

i = ndx;

% copy over all elements; only some will get updated

x(:,t) = prevx;

prevP = inv(prevV);

prevPsmall = prevP(i,i);

prevVsmall = inv(prevPsmall);

[x(i,t), smallV, LL, VV(i,i,t)] = ...

kalman_update(A(i,i,m), C(:,i,m), Q(i,i,m), R(:,:,m), y(:,t), prevx(i), prevVsmall, ...

'initial', initial, 'u', u(:,t), 'B', B(i,:,m));

smallP = inv(smallV);

prevP(i,i) = smallP;

V(:,:,t) = inv(prevP);

end

end

loglik = loglik + LL;

end

本词条内容贡献者为:

王宁 - 副教授 - 西南大学