[科普中国]-覆盖函数

覆盖函数有两种，分别是全局覆盖函数和局部覆盖函数。当前数值流形法多采用基于全局坐标的多项式覆盖函数(简称全局覆盖函数)。部覆盖函数使得在物理覆盖区域内的单元刚度矩阵与单元的具体位置无关,即与单元距坐标原点的远近无关,使刚度矩阵的性态得到一定程度的改善。

覆盖函数的定义当前数值流形法多采用基于全局坐标的多项式覆盖函数(简称全局覆盖函数)。当全局覆盖函数扩展到高阶时，单元的精度虽能得到提高，但对于远离坐标原点的单元，会在刚度矩阵的非主对角线上出现与绝对坐标相关、相比其它元素而言数值很大的元素，对刚度矩阵的性态造成不良影响。非主对角线上出现大数之原因，并采取局部覆盖函数使得问题有所改善，但在单元尺寸远大于1或远小于1时，刚度矩阵的性态仍没有得到有效改善。在全局高阶覆盖函数情况，位于物体边界上占据部分数学网格的小单元也会严重影响刚度矩阵的性态。用一个相邻大单元的位移场来描述小单元的位移场，使得计算得以进行。但是，这种处理方法在理论上是不严密的，因为导致了小单元与其他相邻大单元间的位移不协调，应力计算精度低1。

覆盖函数的计算方法数值流形法采用两套相互独立的网格，即反映数值解精度的数学网格和表示几何边界、材料分区的物理网格，将整个研究区域划分成有限个相互重叠的集合(称为物理覆盖)。物理覆盖的公共区域(交集)，即两套网格的交集，称为流形元。在各个物理覆盖上独立定义位移覆盖函数，通过权函数加权平均得到流形元的位移场。目前都采用有限元网格构造数学网格，有限元的形函数即是权函数。

这种局部覆盖函数使得在物理覆盖区域内的单元刚度矩阵与单元的具体位置无关，即与单元距坐标原点的远近无关，使刚度矩阵的性态得到一定程度的改善。但当单元尺寸远大于1或远小于1时，刚度矩阵的性态仍不能得到有效改善。

覆盖函数的改进改进的局部覆盖函数，其基底的绝对值在覆盖区域内均小于等于1，广义位移不会因为单元尺寸的大小而在数值上相差很大，从而进一步改善了刚度矩阵的性态。

当采用全局覆盖函数时，单元尺寸越大或越小时，刚度矩阵性态越差;当采用局部覆盖函数时，刚度矩阵的性态得到改善，但单元尺寸越大或越小时，刚度矩阵的性态也会变差;当采用改进的局部覆盖函数时，刚度矩阵性态得到明显改善，且刚度矩阵的性态与单元边长的绝对值无关，仅与边长的比值有关。

采用局部覆盖函数时，可先按全局覆盖函数计算单元刚度矩阵和等效荷载矩阵，然后利用转换矩阵将它们变换为局部覆盖函数的单元刚度矩阵和等效荷载矩阵，并组装得到整体刚度矩阵和荷载矩阵中。求解整体平衡方程组获得局部覆盖函数的广义位移后，利用上述有关公式计算全局覆盖函数的广义位移，进而计算单元应力。因此，采用局部覆盖函数时，其公式推导过程和程序编写与全局覆盖函数情况基本一样2。

覆盖函数的应用数值流形法中数学网格与物理网格相互独立，数学网格剖分方便，但在物理边界上容易形成只占据部分数学网格单元的小流形元。在高阶覆盖函数情况，小单元的刚度矩阵性态差，从而影响其应力计算精度。

改进的局部覆盖函数能有效地改善刚度矩阵的性态。适当选择局部化点建立局部覆盖函数，可显著改善边界处小单元的应力计算精度。因此，在高阶流形法分析中，改进的局部覆盖函数是一个合适的选择，也可供其他类似数值分析方法借鉴3。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所