[科普中国]-参数不确定系统

参数不确定系统即在所讨论的某个数学或物理问题中，于给定条件下取固定值的变量按照一定的次序组合在一起的不确定结构。

控制器及参数不确定分数阶系统稳定域分析针一对参数不确定时滞系统，提出了采用分数阶PIλDμ控制器求其系统稳定域的算法。利用Kharitonov理论，将参数不确定时滞系统分解成若干个参数确定的子系统，并求各个子系统的闭环其准特征多项式;然后采用D分解法，求取各个准特征多项式在获得最大稳定域时的分数阶PIλD及PIDμ控制器参数入和μ。以此参数入和赵值重新构建分数阶PIλDμ控制器，并计算各个子系统的稳定域，各个子系统稳定域的交集，即为参数不确定时滞系统的稳定域。通过数值和图像结果表明:所提出的稳定域算法对分析和设计PIλDμ复杂的参数不确定时滞分数阶控制系统较为简单且行之有效。且算法可为参数不确定时滞系统获得分数阶尸尹J少控制器的稳定域，即参数域。将为后续使用最优化方法设计分数阶PIλDμ控制器时，提供了参数搜索的寻找范围，缩短了参数寻优时间和计算量，从而提高了分数阶PIλDμ控制器的设计效率。1

参数不确定时滞系统在一般情况下，工业控制过程中系统模型的参数往往存在着不确定性，为此在设计具有稳定性和鲁棒性的控制系统时，须考虑参数的不确定性。在工业控制过程中，绝大多数系统可用时滞系统近似。其中r(t)为系统输入，e(t)为误差信号，u(t)为控制信号和y(t)为系统输出，C(s)为分数阶PIλDμ控制器传递函数，G(s)为广义的参数不确定时滞系统，它既可以是参数不确定整数阶时滞系统又可以是参数不确定分数阶时滞系统。1

参数不确定分数阶系统一般情况下，工业控制过程中大多数系统的模型都含有不确定因素。对参数不确定分数阶系统，除了其参数具有不确定性外，控制对象的阶次也可能是区间值，即系统的阶次在分数阶建模或数值拟合时，其阶次也可能存在一定的不确定性。

分数阶参数不确定系统数学模型是具有任意实数阶的传递函数(即传递函数的阶次可以是整数阶也可以是分数阶)，且传递函数的参数和阶次可以是不确定性参数或确定性参数。1

分数阶参数不确定系统尸户控制器设计策略对单位负反馈控制系统，目的是求出分数阶参数不确定线性被控对象族C(s)在分数阶尸户控制器的控制下的稳定域，以此设计分数阶PIλDμ控制器的参数。

对于参数不确定线性分数阶控制系统，现行的对于整数阶动态系统的稳定性检测方法，如Routh表，已经不能直接用来测试分数阶线性系统的稳定性。通常来说，这主要是分数阶线性系统的特征多项式不是一个标准的多项式，而是一个复变量。的分数阶次幂的准特征多项式。然而，由于它是复变量函数的特征方程，依据于已有的稳定性测试方法还是可以用的，但要进行改进。另外，Matigon依据于特征方程的根，采用几何方法检测了分数阶系统的稳定性。

选择在获得比较大或满足性能要求时的久值，作为分数阶尸户控制器的阶次参数，求各个子系统的稳定域。把各个子系统稳定域都画在同一(kp，k1)平面上，各个子系统稳定域的交集便为线性时不变分数阶系统的稳定域，即分数阶尸尹控制器的参数域，在此参数域内选取分数阶PIλDμ控制器的kp和k1参数，则可获得所设计一的控制器。但是，所设计的控制器能否对具有参数和阶次不确定的线性时不变分数阶系统G(s)族具有稳定性，则需要证明。因此，现通过以下的定理予以证明。1

分数阶参数不确定系统PIλ控制器利用求解分数阶参数不确定系统稳定域的方法，设计了使分数阶参数不确定系统具有鲁棒性的分数阶PIλ控制器。首先采用Kharitonov理论，将分数阶参数不确定系统分解成若干个参数确定的子系统，然后用D分解方法分别求出在PIλ控制器的控制下，使各个子系统都取得较大稳定域的参数λ值。再采用此λ值构建PIλ控制器并计算各个子系统的稳定域。各个子系统稳定域的交集即为参数不确定系统在PIλ控制器控制下的稳定域。同时证明了所构建的PIλ控制器能稳定整个参数不确定系统组。最后在稳定域内取控制器参数值，便构成了所设计的PIλ控制器。采用实例对此设计方法进行验证，并用所构建的PIλ控制器对参数不确定系统组的各个子系统进行阶跃响应分析，结果表明PIλ控制器对参数不确定系统具有较强的鲁棒性。2

整数阶PI控制器的稳定域分数阶PIλ控制器设计的目的是在分数阶PIλ控制器的控制下求取参数不确定系统的稳定域，进而获得分数阶PIλ控制器的参数集，并使得分数阶PIλ控制器在参数集内取值对于8个参数确定的子系统亦稳定。根据方程式，在(kp，kI)平面内可确定出复根边界曲线(CRB)。由于sβ0=1，所以实根边界(RRB)kI=0与复根边界(CRB)可在(kp，kI)平面上构成了系统的稳定性区域。λ=1是最简单的情况，此时系统是一个整数阶PI控制器。取λ=1并由方程式，将相应的复根曲线(CRB)和实根直线(RRB)绘制在(kp，kI)平面内。

从整数阶PI控制器的稳定域可以看出，整个参数平面被分成了3个不同的区域，即左上的CRB区域、CRB和RRB之间的区域以及RRB以下的区域。通过文献中提出的测试方法，在3个区域中任选一点进行测试，发现系统的稳定域为CRB曲线与RRB直线包围部分。2

分数阶PI0.8控制器的稳定域对于分数阶PIλ控制器，随着λ的减小，系统的稳定域有逐渐增大的趋势。当λ=0.8或λ