[科普中国]-负等角中心

负等角中心(negative isogonal centre)是三角形的巧合点之一。若△ABC不是正三角形，分别以三边为边向△ABC内侧作三个正三角形：△ABC′，△BCA′和△CAB′，则三直线AA′，BB′，CC′交于同一点Q，点Q称为△ABC的负等角中心。

基本概念正等角中心在△ABC的外边作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC'，AA'、BB'、CC'必共点，这点称为△ABC的正等角中心。

当△ABC的各角均小于120°时，正等角中心O在△ABC形内，且∠BOC=∠COA=∠AOB=120°；

当各角中有一个角(例如∠A)等于120°时，则O与A重合；

当∠A>120°，则O在△ABC形外(O、A同在BC一侧)，且∠BOC=120°，∠COA=∠AOB=60°1。

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负等角中心在△ABC的内侧作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC'，AA'、BB'、 CC'也必共点。这点叫做△ABC的负等角中心。

当△ABC有一个角(例如∠A)等于60°时，负等角中心O'与A重合；

当△ABC只有一个角(例如∠A)大于60°，且∠B、∠C均不等于60°，负等角中心O'在△ABC形外(O'、A在BC两侧)，且∠BO'C=120°，∠CO'A=∠AO'B=60°；

当△ABC有两个角(例如∠B和∠C)大于60°，负等角中心O'亦在△ABC形外(O'、A在BC两侧)，同样有∠BO'C=120°，∠CO'A=∠AO'B=60°，△ABC不能为等边三角形，因此此时O'不存在。

等角中心问题的研究始于十七世纪的欧洲，当时法国数学家费尔马提出问题征解:“求一点，使此点至三定点之距离和为极小”，当上述三定点所决定的三角形的各内角均小于120°时，解答正是三角形的正等角中心。故各角均小于120°的三角形的正等角中心又称费尔马点1。

负等角中心的证明已知 以△ABC的每边向内侧作正三角形ABD、BCF和ACE 。

求证 ⊙ABD，⊙BCF及⊙ACE相交于一点。

证明 设⊙ABD和⊙ACE相交于点P，连结PB，PA，PC。

在⊙ABD中∠APB=∠ADB= 60°，

在⊙ACE中∠APC=∠AEC= 60°，

因为同弧上的圆周角相等，

所以∠APB+∠APC=120°，

即∠APC+∠F =120°+ 60°= 180°，

所以F, B, P, C四点共圆。

故以上三圆共点。

此点叫做原三角形的负等角中心2。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所