[科普中国]-瓦里尼翁平行四边形

瓦里尼翁平行四边形(Varignon parallelogram)是四边形的一个特殊内接四边形。顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形。它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁(P.Varignon)发现的，但迟至1731年才发表1。

基本介绍定理依次连结四边形各边中点的图形是平行四边形(P.Varignon,1654-1722，法国)。

|| ||

定理也体现数学和谐之美，推导也很简单，用三角形的中位线定理即可，但是令人感到惊奇的是此定理迟至1721年才发现，定理对于凹四边形(图a(a))，交叉四边形(图1(b))，有一点不在另外三点平面上的空间四边形(图1(c))都成立，这种平行四边形都称为Varignon平行四边形（也叫“中点四边形”）2。

Varignon平行四边形的证明与推广如图2:顺次连结四边形ABCD各边的中点E、F、G、H所得的四边形EFGH平行四边形3。

证明连结AC

因为:E、F分别为AB、BC的中点

所以:EP是△ABC中位线

所以:EF//AC且EF=1/2AC

同理可证明:

HG//AC且HG=1/2AC

所以:EF//HG且EF=HG

所以:四边形EFGH是平行四边形。

其实，这个例题也可以连结肋来证明EH与FG平行且相等，就可以证明四边形EFGH是平行四边形。(如图3)

从图形可以看出，要想判定中点四边形EFGH的形状，其实只要判定原四边形ABCD的对角线AC与肋的关系，是相等，还是垂直，或是二者皆有。

易证明：

若AC=BD，可推出四边形EFGH的四条边都相等，则四边形EFGH是菱形。

若AC⊥BD，可推出四边形EFGH的四个角都是90度，则四边形EFGH是矩形。

若AC=BD且AC⊥BD，可推出四边形EFGH的四条边都相等，四个角都是90度，则四边形EFGH是正方形。

归纳结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；若四边形的对角线相等，则它的中点四边形是菱形；若四边形的对角线垂直，则它的中点四边形是矩形；若四边形的对角线垂直且相等，则它的中点四边形是正方形3。

Varignon平行四边形的面积(如图4)只要作△ACD的高DM,DM交AC于M,易知DM的一-半是平行四边形GHIJ的高。

分析：易知AC=2HG

所以△ACD的面积

=2平行四边形GHIJ的面积

同理可证明：

△ABC的面积=2平行四边形EFIJ的面积

以上两式相加可得：

四边形ABCD的面积=2四边形EFGH的面积

归纳结论：中点四边形的面积是原四边形面积的一半3。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所