[科普中国]-旁心三角形

旁心三角形(excenter triangle)是一种特殊三角形，指连结三角形的内心与两个旁心所成的三角形，一个三角形有三个旁心三角形。连结三角形的三个旁心而成的三角形为主旁心三角形，主旁心三角形面积等于该三角形的三个旁心三角形的面积的和。有的书籍也简称主旁心三角形为旁心三角形1。

基本介绍三角形的内心：三角形的三条角平分线的交点称三角形的内心，它是三角形的内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等。

三角形的旁心：三角形任何两个角的外角的平分线与第三个内角的平分线的交点称为三角形的旁心，它是三角形的旁切圆的圆心，一个三角形有三个旁心。如图1，O₁，O₂，O₃是△ABC的三个旁心，旁心到三角形三边所在直线的距离相等。

旁心三角形：在△ABC中，若O为△ABC的内心，D，E，F三点为△ABC的三个旁心，则△ODE，△OEF，△OFD均为△ABC的旁心三角形，连结三角形的三个旁心而成的三角形为主旁心三角形（有时简称“旁心三角形”），如△DEF。

旁心三角形的相关结论由△ABC三个旁切圆的圆心组成的称为旁心三角形(Excentral Triangle)，它是内心I的反切瓦三角形，也是I的反垂足三角形，如图32。

旁心三角形各顶点的三线坐标矩阵是

旁心三角形的三边长是

面积是

旁心三角形和任何一个切瓦三角形是透视的。

从任意的一个三角形开始，构造其旁心三角形，再由构造其旁心三角形，如此迭代下去，直至，最后将得到一个正三角形。

△ABC的垂心，中点三角形的内心Sp，旁心的外心Oe在一直线上，且Sp是HOe的中点，如图4.

△ABC的内心I与旁心的垂心He重合，△ABC的外心O与旁心的九点圆圆心Ne重合，且I(He)，O(Ne)和Oe(旁心三角形的外心)在一条直线上，IO= OOe，如图5。

旁心三角形的外接圆称为贝文圆，它的圆心称为贝文点，半径是2R。

贝文圆有一个美妙对称的三线方程

α(α+β)(α+γ) +b(α+β)(β+γ) +c(α+γ)(β+γ)=0，

贝文圆与斯蒂范维卡圆正交2。

定理1

如图6，己知O₁O₂，O₂O₃，O₁O₃分别是△ABC外角平分线，△O₂AC，△O3AB内心分别是Y、Z，延长直銭YZ交O₁O₃,O₁O₂分别于点M.N，则O₂,O₃,Z,Y四点共圆,且O₁M=O₁N3。

定理2

如图7，已知△DEF是CABC的垂足三角形△AEF ,△CDE的垂心分别是N,K，则四边形FNKD是平行四边形。

定理3

如图8，△DEF是△ABC的旁心三角形，△ACE,△BCD,△ABF内切圆分别是圆J,圆zi,圆K，圆K切AB于F，圆I切BD，DC分别于E,G,圆J切AC于K.则 EF//AD // KG3。

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任毅如 - 副教授 - 湖南大学