[科普中国]-勾股求弦作图

我国古代，把直角三角形的两条直角边叫做勾和股，斜边叫做弦。勾股求弦作图(construction of seeking hypotenuse chord of given legs of a triangle)即已知直角三角形的直角边求做斜边。

基本介绍“勾股求弦”作图即：作一线段，其中都是一已知线段。

已知 线段a、b

求作 线段x使

作法 作一直角∠EBF，在BE上截取BA=a，在BF上截BC=b，连AC，则AC即为所求x。

相关历史介绍**《周髀算经》** 我国古代，把直角三角形的两条直角边叫做勾和股，斜边叫做弦。在数学古书《周髀算经》中，曾记载了周公和商高的一段问答，其中谈到“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”。“勾广”就是勾长，“股修”就是股长，“径隅”就是弦长。这句话的意思是说，如果将一根直尺折成一个直角，若短直角边的长为3，长直角边的长为4，那么斜边的长一定为5。在《周髀算经》中记载的荣方和陈子的问答中，谈到了由勾股求弦的一般方法“勾股各自乘，并而开方除之”。可见古代劳动人民已将勾股定理运用于生产实践之中。一般认为《周髀算经》成书于公元前1世纪，可见我国至少在2100年前就发现了勾股定理1。

《勾股举隅》《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，全书一卷，其中的主要成就，是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广。书中首列“和较名义”，其次以两幅“弦实兼勾实股实图”来说明勾股定理(如下图)，其论说的根据是出入相补原理。

在问题的陈述上，本书以“问题”、“法”、“论曰”为主，法为算法，论曰为证明，若有另外的算法，则再加，上“又法”及“论日”，部分题目则给出了“又简法”，即速算法。书中的每个问题皆附上图形，图形的目地主要是用来说明出入相补法。在内容上，本书大致上可分作两部分，一为勾股算术，另一主要为勾股测量。前者共列13题，后者则为6问。前者内容如下2：

|| ||

其中“勾股积与弦较较求诸数”(5)、“勾股积与弦较和求诸数”(6)、“勾股积与弦和较求诸数”(7)、“勾股积与弦和和求诸数”(8)、“勾股较弦和和求诸数”(11)、“勾股较、弦和较求诸数”等六个问题在历史上是首度出现。此外，梅文鼎对这些题目中所给的算式中，最重要的是:

[c-(b-a)][c+(b+a)]=[(b+a)-c][(b+a)+c]=4(ab/2).

梅文鼎对其评价很高，他认为此式“乃立之根也。而其理皆具古图中，学者所宜深玩”。这里的“古图”指的即是赵爽注《周髀算经中》之“勾股圆方图”，对此式的证明也是利用此图来完成的。值得注意的是，“弦与勾股和求勾股用量法”一题中所用的标尺作图之方法，与徐光启《勾股义》中“勾股求容圆”来作比较，可以发现梅文鼎在标尺作图的概念已相当正确，显示梅文鼎对《几何原本》有一定深度的了解。另外，从梅文鼎在测量问题上所使用的出入相补法来看，其内容相当贴近杨辉乃至于刘徽的作法，有别于明末西方传人的测量方法2。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学