[科普中国]-合成轨迹

合成轨迹(compound locus)是轨迹的一种类型，若轨迹是由两个或两个以上的图形组成，则称为合成轨迹，若轨迹由一个图形构成，则称为单一轨迹。例如，“与相交两定直线等距的点的轨迹，是两条互相垂直的直线，它们平分两定直线的各交角”就是合成轨迹。“和两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点线段的垂直平分线”是单一轨迹1。

基本介绍轨迹问题有一类轨迹命题只给了条件，而不指明合于此条件的点的轨迹是一个什么样的图形，更不指明轨迹图形的位置及大小。这类轨迹命题叫求轨迹问题，其表述形式是：“求合于某某条件的点的轨迹’’。

有的求轨迹问题看条件便可断定轨迹图形怎样、位置如何和图形的大小，但是更多的求轨迹问题则是要经过一番有步骤，有方法的辨识才能获知轨迹图形。解这类轨迹命题必须分为两步。首先辨识清楚轨迹图形；然后进行两面证明，很明显，如果不把轨迹图形辨识游楚，那么根本就无法进行证明。

合成轨迹和单一轨迹为此，必须在思想上明确轨迹图形的概况，以免在辨识中漫无边际——甚至超出初等几何范畴。

初等几何学的平面部分所涉及的几何图形不外乎直线类，圆类和直线与圆的结合类(弓形扇形)。因此，平面几何所涉及的轨迹不外乎如下情况：

单一轨迹：(1)直线类——直线，射线，线段；(2)圆类——圆，弧。

合成轨迹：由两个或多个单一轨迹合成的轨迹。

所谓合成轨迹，是指由两个或两个以上的单一轨迹(点、线、弧形)所合成的轨迹。在求合成轨迹时，要根据题意把平面划分成几个区域，在这几个区域中分别求出符合题意的单一轨迹，然后再合并为所求的合成轨迹。

合成轨迹和单一轨迹是轨迹的一种划分，由两个或两个以上图形合成的轨迹，叫做合成轨迹；否则叫做单一轨迹。如基本轨迹命题1，2，3，4都是单一命题，基本轨迹命题5，6及基本轨迹命题2的推论都是合成轨迹(参见下文“基本轨迹命题”)。合成轨迹和单一轨迹不是绝对的，往往要看对什么图形来说，如某轨迹是一个矩形，若对矩形来说，便是单一轨迹；若对线节(线段包括两端点)来说，便是合成轨迹。

基本轨迹命题基本轨迹命题1和一个已知点的距离等于已知长的点的轨迹，是以已知点为圆心，已知长为半径的圆，如图1，⊙O是和定点O的距离等于定长r的点的轨迹。

基本轨迹命题2和两个已知点距离相等的点的轨迹，是连结这两点的线段的垂直平分线。如图2，直线l是和已知点A，B距离相等的点的轨迹。

基本轨迹命题3在一个已知角内和角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.如图3，射线OC是∠AOB内和两边OA，OB距离相等的点的轨迹。

推论和两条相交的已知直线距离相等的点的轨迹，是这两条直线所成两组对顶角的平分线。如图4，l1，l2是和两相交直线AB，CD距离相等的点的轨迹。

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基本轨迹命题4和两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线距离相等的一条平行线，如图5，直线l是和两平行线AB，CD距离相等的点的轨迹。

基本轨迹命题5和已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线并且和这条直线的距离等于定长的两条直线，如图6，直线l1，l2是和直线AB距离等于定长k的点的轨迹。

基本轨迹命题6和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧(端点除外).，如图7，弧和是和线段AB的两个端点的连线的夹角等于已知角a的点的轨迹。

举例分析【例1】以给定圆的心A为顶点任作等腰三角形ABC，自B和C各作该圆的切线，求诸切线交点的轨迹。

自B和C各作切线BM和BN，CK和CL，两两相交于E,F, I,J。

1° 交点E和F的轨迹，容易知道它是底边BC的垂直平分线EAF。

2° 交点I和J的轨迹，即为三角形ABC的外接圆，因为连AM，AL，则AMB与ALC是两个全等的直角三角形，于是

∠ABM=∠ACL

因比 ∠CAB=∠CIB

即I在△ABC的外接圆周上。同理，J也在△ABC的外接圆周上，所以I,J的轨迹是ABC三角形的外接圆周。

为此，所求的轨迹就是EAF直线和BAC圆周2。

【例2】求到线段AB上点的最短距离为定值d的动点P的轨迹。

解 如图，过A、B作AB的垂线分别为。

(1)若动点P在之间(含)的区域，作PQ⊥AB于Q，则

PQ= P到AB的最短距离=d，

所以，动点P的轨迹是在之间(含)的区域中两条与AB距离为d的平行线段。

(2)若动点P在的左侧区域，则PA= P到AB的最短距离= d，

所以，动点P的轨迹是以A为圆心，d为半径，位于左侧的半圆。

(3)同理，动点P在右侧的轨迹是以B为圆心，d为半径的半圆。

综上所述，动点P的轨迹是由(1)、(2)、(3)给出的两条平行线段及两个半圆所组成3。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学