[科普中国]-正等角中心

分别以△ABC的三边为一边，向形外作正三角形BCA₁，CAB₁，ABC₁，则AA₁，BB₁，CC₁相交于一点T，则称T为△ABC的正等角中心，当△ABC各内角均小于120°时，正等角中心到三顶点的距离之和最小。正等角中心和托里拆里点实际上为同一点，只不过前者是从共点线角度来提出，而后者知是从共点圆角度提出的。当三角形各内角均小于120°时，正等角中心又和费尔玛点重合， 费尔玛点是从几何极值角度提出的1。

基本介绍正等角中心(positive isogonal centre)亦称费马点，是三角形的巧合点之一。若分别以△ABC的三边为边，向形外作正三角形ABC′，BCA′，CAB′，则三直线AA′，BB′，CC′交于同一点P，并形成以P为顶点的六个相等的角，每个角等于60°(如图1)，点P称为△ABC的正等角中心，当△ABC每个内角都小于120°时，正等角中心是到三顶点距离之和为最小的点，正等角中心早在古希腊时代已被发现，公元17世纪时，费马(Fermat，P.de)曾提出这样的征解问题：求一点，使与定三角形三顶点的距离和为极小。因此，各角均小于120°的三角形的正等角中心又称费马点2。

正等角中心的证明若在△ABC的外边作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC' (图2)，则AA'、BB'、CC'三点共点。

这点叫做△ABC的正等角中心，是三角形的巧合点之一，早在希腊时代已被发现。公元十七世纪时。法国数学家费马(Fermat，1601-1665年)曾提出一问题征解，问题是“求一点，使与定三角形三顶点的距离和为极小”。当三角形的三个角均小于120°的时候(图2中)，问题的解答正是三角形的正等角中心。因此各角均小于120°的三角形，它的正等角中心又有费马点之称3。

题设 在△ABC的外边作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC'。

题断 AA'、BB'、CC" 三线共点。

思索方法 在AA'、 BB'、CC'三线中，如果其中两线的交点是△ABC的顶点之一(当△ABC有一角等于120°时)，则问题已显而易见。现在假定BB'与CC'的交点是O，连OA和OA'。 由题设，易知△ABB'与△AC'C合同，因而A与BB'、C'C等距。那么OA是∠B'OC'或∠BOC的平分线(就图2来看)。于是若能证OA'是∠BOC的平分线，问题便解决了。为要考究这一点，我们想到图形中有许多60°的角，应该设法利用它们。从上述两个合同三角形的对应角相等这个关系看来，我们马上发觉∠COB'= ∠CAB'= 60°， 由此可见O、B、A'、C四点同在一圆上。这就证实了我们刚才的希望没有落空。

证明分三种情形证明如下：

1° 假定△ABC有一角例如A角等于120° (图2（a）)。这时BAB'与CAC'显然都是直线，因而AA'、BB'、CC'三线会于A点是十分明白的。

2° 假定△ABC各角均小于120° (图2（b）)。这时BB'、CC'两线显然交于△ABC内部一点O，连OA和OA'。由题设，AB= AC'，AB'= AC，且

∠BAB'=∠BAC+∠CAB'=∠BAC+∠C'AB=∠C'AC，

故 △ABB'≌△AC'C。

由此得知A与BB'、C'C等距，那么OA是∠B'OC'的平分线。

在合同三角形△ABB'与△AC'C中，有∠AB'O=∠ACO。因此A、B'、C、O四点同在一圆上，从而∠COB'= ∠CAB'= 60°。但据题设，∠CA'B= 60°，可见四边形OBA'C有外接圆。这样一来，由A'B=A'C，便知OA'是∠BOC的平分线。

以上的结果，证明了A、O、A'三点是共线的。这就是说，AA'、BB'、CC'三线会于O点。

3° 假定△ABC有一角例如A角大于120° (图2（c）)。这时BB'、CC'两线将交于△ABC外部一点O(O、A同在BC的一侧)，连OA和OA'。仿上面的步骤，可以证明，△ABB'与△AC'C合同及四边形OBA'C有外接圆，因此OA，OA'同为∠BOC的平分线。于是OA和OA'必然合而为一，所以题断成立3。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学