[科普中国]-边界配置

边界配置法是一种半解析的数值方法，是边界元发展之后的另一种新的数值分析方法，主要通过试函数满足外边界的边界条件即可。

准晶有限板裂纹反平面问题的边界配置法主耍通过对数值分析方法的概述，说明了边界配置法是解答一维六方准晶有限板反平面问题的有效方法，并简耍介绍了准晶材料的概念和性能，最后给出了主耍研究内容。1

数值方法概述有限差分法通过把没有解析解的微分方程用有限个离散的网格数进行计算区域，并用差分近似表示控制方程中的微分项，近而求解代数方程的一种数值方法。自20世纪中叶开始，就有人用此方法应用于太沙基固结的研究，1985年赵维炳等W人采用差分法解答了Biot固结问题。由于此方法划分的网格是规则的，使得在弹性力学中的应用大大受到了限制，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。近些年来，有限差分法不断地进行修改，不少的研究者采用此方法求解复杂介质地震波传播问题和波的散射问题。边界配置法是严格选择满足微分方程和外边界条件的试函数，试函数的形式多样，选取的好坏，很大程度上影响计算的工作量和结果的精确度。1

边界配置法的发展边界配置法发展于20世纪中期，Gross等最语早应用于选裂纹试件中，采用的应力函数是用极坐标表示的Williams级数，最后通过用边界配置法分析应力强度因子。之后，科学家不断地摸索边界配置法的原理，如较比于其他数值解法，边界配置法的优点在于它采用精也挑选适当的应力函数，不管针对任何问题，它所包含的近似只在表面，选取的巧力函数不但要考虑裂纹尖端附近的应力场具有的奇异性质，裂纹表面无外力作用等，还要满足域内的平衡方程。至于其他的边界条件，则由丽点法和最小二乘法近似满足。由于边界两置法原理简单，程序编制容易，因此王程实际中的一些材料，如岩石、木材等，研究这类材料及其裂纹问题在工程中有实际意义。

边界配置法是在边界上配置一些节点，利用级数形式给出计算结果。研究了边界配置法在混合边值问题中的应用和计算，采用边界配置法研究了有限板边裂纹问题，通过数值算例分析应力强度因子的结果。在平面内电场和反平面载荷作用下，通过用边界配置法求解有限板含裂纹的压电材料的应力强度因子表达式，并讨论了应力强度因子与界面的几何尺寸和裂纹长度的关系。把边界配置法应用于裂纹体的反平面剪切问题，包括含边裂纹、中也裂纹、双边裂纹和孔边裂纹物体的反平面剪切等问题。采用边界配置法研究有限大板的情况下，正交各向异性材料和压电材料的反平面剪切问题，用边界配置法研究有限板斜裂纹问题，并通过数值试验分析了裂纹倾角对应力强度因子的影响，当倾角为零时，可得到直裂纹问题的应力强度因子。1

边界配置法的优点边界配置法计算裂纹问题具有许多优点。首先，送种方法具有广泛性，不同形状的裂纹问题可用相同的应力函数和计算过程分析。而其他一些方法，如保角变换法，耍针对不同的裂纹形状，采用不同的变换函数进行计算。其次，与有限元法相比较，边界配置法在空间维数的处理上不但少了一维，而且大幅度减少了输入数据量，使得形成的代数方程组简单易懂，这样减少了计算时间，也提高了计算的准确度。有限元法虽然可W用来计算裂纹问题，但由于裂纹尖端附近应力集中，往往在这些区域要细分网格，从而使计算准备工作和计算时间增多，而精度却并不理想。最后，边界配置法原理通俗易懂，程序编制简单。1

边界配置法求压电材料反平面问题从断裂力学的观点出发，采用边界配置法研究了含中心裂纹的矩形截面的压电材料在平面内电场和反平面变形作用下的应力场和电场的解，详细介绍了该方法的程序设计过程。作为例子，计算了能量释放率。结果表明，这种半解析半数值的方法程序编制简便，而且具有足的稳定性和精确性。2

边界配置的方法与其他数值解法比较反平面变形是一种较简单变形，关于此类问题的研究，从国内外文献中可以看到，对压电材料的研究多限于无限大的介质或无限大的长条，计算方法采用积分变换和复变函数的方法，得到的是解析解。而实际中遇到的大多数问题是有限尺寸的压电材料，运用上述方法得不到解，必须采用数值方法。采用的方法是边界配置法研究了含中心裂纹的矩形截面的压电材料长梁，将边界配置法用于研究的压电材料的裂纹问题。边界配置的方法与其他数值解法相比，优点是显而易见的，它所包含的近似只在表面，针对问题的特点采用精心挑选的严格满足问题的微分方程、裂纹面边界条件的函数，使计算的精度超过其他数值方法。2

边界配置法的线性方程组的程序设计考虑的问题是包含中心裂纹的矩形截面的横观各向同性压电材料，在截面的上下边缘承受均匀的位移u3=w和均匀的电场强度E2=E0，在直角坐标系下，极化轴x3垂直各向同性面，裂纹在x1轴上，截面关于裂纹对称。由于考虑的问题是反平面变形，因此，位移函数和电势函数，从而得到应力场和电场的基本解。还不是真正意义上的解，其中的系数Ak， Bk为待定常数，由物体的周边的边界条件确定。原则上讲，可以在边界上取无穷多个点，每一点有两个边界条件，这样便得到一个以系数Ak， Bk为未知量的线性代数方程组。最后可得到一个无穷代数方程组，解这个无穷方程组，便可以确定式中的无穷个系数Ak，Bk，于是便可以确定应力场和电场。但是，在实际工作中，不可能取无穷个点，只能取有限个点。因此， 将式中的无穷级数截断为有限的M项，根据对称性， 配点只需在半个矩形边界进行，左、右边界的配点数为N1，上边界的配点数为2N2，总配点数为2N1+ 2N2。令2N1+2N2>2M,得出的线性代数方程组的个数大于未知数的个数，得出的解是最小二乘解，既避免了等额配点可能遇到的线性代数方程组线性相关以至不能求解的情况，另一方面，也提高了计算精度。2

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所