[科普中国]-驴桥定理

驴桥定理（拉丁语为Pons asinorum），也称为等腰三角形定理，是在欧几里得几何中的一个数学定理，是指等腰三角形二腰对应的二底角相等。等腰三角形定理也是欧几里得的几何原本第一卷命题五的内容。

历史由来有关其名称驴桥定理的由来有二种：一种是几何原本中的示意图即为一座桥，另外一种比较广为大家接受，是指这是几何原本中第一个对于读者智力的测试，并且做为往后续更困难命题的桥梁。几何学是列在中世纪四术之中，驴桥定理是在几何原本的前面出现的较困难命题，是数学能力的一个门槛，也称之为“笨蛋的难关（Asses' Bridge）”，无法理解此一命题的人可能也无法处理后面更难的命题。照原文直译，就是“驴桥”，因此，我国也有将此命题译作“驴桥定理”。

无论其名称的由来为何，驴桥定理一词也变成是一种隐喻，是指对能力或了解程度的关键测试，可以将了解及不了解的人区分开来。

内容驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一篇的前5个命题是1：

命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形。

命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。

命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。

命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

命题5：等腰三角形两底角相等。

命题5的证法是这样的：已知AB=AC，延长AB到F，AC到G，使AF=AG。引用命题4，易知△ADC≌△AEB，得出BH=CF，∠BFC=∠BGC，注意到BF=CG，再引用命题4，易得△FBC≌△GCB，进而得到∠FBC=∠GCB，于是∠ABC=∠ACB。

命题5在现代的中学课本中是从顶角A引角平分线来证明的，但《几何原本》中，作角平分线是命题9，因此只能用前面的4个命题来证明。上述证法虽然很巧妙，但对于初学者却是一个难关。西欧对此定理戏称为“笨蛋的难关（Asses' Bridge）”，照原文直译，就是“驴桥”，因此，我国也有将此命题译作“驴桥定理”的。

证明欧几里得的证明欧几里得的证明包括第二个结论，就是若三角形的二腰延伸超过底边，则二腰延长线和底边的夹角也会相等。欧几里得的证明中包括了绘制二腰延长线的辅助线，但当时的数学家普罗克鲁斯指出他没有用到第二个结论，而且若在三角形内部绘辅助线，会使证明比较简单。欧几里得的证明用到称为SAS的三角形全等，是几何原本中的上一个命题。

其他证明方式在教科书（例如人教版数学教科书在八年级“轴对称”一章）上常见的作法是作顶角A的角平分线。此证明方式比欧几里德的简单，但在几何原本中命题9才是作角平分线，因此若几何原本中在命题5就使用角平分线，会有循环论证的问题。

其证明如下：

1）令三角形为ABC，其中线段AB=线段AC。

2）作角BAC的角平分线，和线BC交与X点。

3）线段AB=线段AC，线段AX和自身等长，而且∠BAX = ∠CAX，因此依照SAS全等，三角形BAX和CAX全等，因此可得角B和角C相等。

勒让德在《几何原理》用了一个类似的方式证明，不过令X是线段BC的中点。其证明方式类似，但是会用到SSS全等，而在欧几里德的几何原本未提到SSS全等。

帕普斯在约公元300年用了一个非常简短的方法证明: 等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 则三角形ABC与ACB全等(SSS), 故三角形ABC 两底角相等。约1960年，赫伯特·吉伦特编写的程序也得到了相同的证明。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所