[科普中国]-镜面反射变换

镜面反射变换(mirror reflection transformation)简称镜面反射或平面反射，欧氏空间中的一种特殊变换。在欧氏空间中，把任一点A映成关于给定平面π对称的点A′的变换称为关于平面π的镜面反射变换，平面π称为反射平面。镜面反射是第二种正交变换，在镜面反射变换下，连结变换的每一对对应点A，A′所得到的线段都垂直于反射平面π且被π所平分，平面π上的点都是不动点，镜面反射变换在直观上相当于把平面π看做一面镜子，变换前后的对应点就好比是物与像那样1。

基本介绍镜面反射(mirror reflection)亦称非特征正交变换，又称第二类正交变换，一种特殊的正交变换。设V是欧氏空间，α是V的非零向量。对任意的β∈V，由

决定的变换是满足的正交变换，称为由向量α决定的镜面反射，其中为单位变换。若V是n维欧氏空间，则存在V的标准正交基，使镜面反射τ在此基下的矩阵为

在欧氏空间中，把任一点A映成关于给定平面π对称的点A′的变换称为关于平面π的镜面反射变换，平面π称为反射平面。在空间直角坐标系中，若把坐标平面xOy取为反射平面，则镜面反射变换的代数表达式为

其中(x，y，z)，(x′，y′，z′)分别是变换前的点与变换后它的对应点的坐标1。

第二类正交变换在解析几何中，正交变换就是保持点之间的距离不变的变换，在一般的欧氏空间中也可引入正交变换的概念。

正交变换欧氏空间V的线性变换称为正交变换，如果，有

因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的。由定义不难看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到它自身的同构映射，因而正交变换的乘积以及正交变换的逆变换也是正交变换。在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵，如果U是正交矩阵，那么由可知，正交变换的行列式等于+1或者-1，行列式等于+1的正交变换通常称为旋转，或者称为第一类的正交变换；行列式等于-1的正交变换称为第二类的正交变换。例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基，定义线性变换为：，那么，就是一个第二类的正交变换，从几何上看，这是一个镜面反射2。

定理1 欧氏空间V的线性变换是正交变换的充要条件是，有。

定理2 若V是n维欧氏空间，，则下列条件等价：

(1)是正交变换；

(2)若是V的标准正交基，则也是V的标准正交基。

(3)在V的任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵2。

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刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所