[科普中国]-布耶哈马问题

布耶哈马问题指的是根据在地球内部的等效球面上的边值条件，并使其结果与用地面上的边值条件求得的同一点的外部扰动位相等，从而确定地球形状的大地测量边值问题。

问题的提出现代重力测量技术的迅速发展，为地球重力场的确定提供了多种类型的边值条件。从而出现了新型大地测量边值问题。特别是卫星重力梯度计划的实现，能够在地球外域多个界面上获得关于扰动位r的边界条件。理论上，这些边界条件应该是严格相容的，但边界条件是通过某种测量手段和基于某种数学模型计算得到的，其中必然包含某些误差．如测量误差、模型误差、计算误差等，以至于它们实际上不可能相容。从而产生所谓超定边值问题。1

理论基础在大地测量边值问题可简单表述为：在大地水准面或地球自然表面上给定边值条件及相应的边值(如重力向量和重力位的测定值)，确定该边界面及其外部引力位，使其满足边值条件并在无限空间内是调和函数。位的概念最早是由法国数学家Legendre在1785年首先提出的，这一概念将引力或重力的三个分力合并为一个单独的位函数来处理，将地球形状和重力场的研究结合起来，为研究地球形状和重力场开辟了方便的途径。位理论后来又经过Green和Gauss等数学家和大地测量学家的研究获得了很大的发展，进一步揭示了表征位场的基本数学关系，达到了十分完备的地步。

但是，真正把地球形状和位理论结合起来研究直到19世纪才算开始。这一时期欧洲的大地测量(三角测量)已普遍展开，需要更精确的地球形状概念，以便为确定地面点位建立一个大地测量参考坐标系。Listing于1837年首次引进了地球形状新概念——大地水准面，后来将最接近大地水准面的旋转椭球面作为大地测量坐标系的参考面，把大地水准面作为计算正高的基准面。英国数学家Stokes为研究和确定大地水准面作出了奠基性贡献，他发展和完善了Newton和Clairaut关于地球形状的理论，于1849年建立了著名的Stokes定理：如果一个包含着全部物质的水准面的形状是已知的，又已知物质的总质量以及它围绕着某一固定轴而旋转的角速度，则可以唯一地确定该水准面上及其外部空间任意一点的重力值。这个定理将地球形状和它表面的重力值联系起来。Stokes同时解决了这个定理的逆定理：如果已知一个封闭水准面上的重力值，且其外部无质量，就可以确定这个面的形状。以大地水准面为边界面的Stokes问题是第一次提出的大地测量边值问题，并由此导出了著名的Stokes公式。Stokes理论大大超前于当时的重力测量水平，差不多过了100年，直到1934年芬兰的Hirvonen第一次应用Stokes公式对大地水准面进行了研究。大地水准面在Stokes问题中起关键作用，但也正是因为将大地水准面作为边界面，才给Stokes问题本身带来了不可避免的理论缺陷，现时还没有一种排除大地水准面外部质量的归算方法对地球本身重力场不产生影响，而且这种归算都要求有密度分布假设。尽管如此，这种缺陷带来的误差在经典大地测量精度要求范围内一般是容许的，在重力场逼近中，Stokes方法仍将保留它的理论研究价值和很强的应用价值，它的优点是数学形式简单，是一种最简单的大地测量边值问题。

1945年Molodensky对Stokes问题作了重大修改，决定性的一点是屏弃传统的大地水准面，代之以地球自然表面，提出直接使用不加归算的地面重力观测值(重力向量和重力位)同时确定地球表面及其外部位，由此产生了Molodensky边值问题，它从根本上克服了Stokes问题需要假设地壳密度的困难。Molodensky边值问题可定义为：假设(1)地球是一个刚体，以定常角速度绕相对于地球固定的自转轴旋转；(2)自转轴通过地球质心；(3)地球的引力场不随时间而变化，在地球表面S外部是调和的；(4)在S面上每一点的重力向量和重力位是已知的。2

本词条内容贡献者为:

张静 - 副教授 - 西南大学