[科普中国]-顺序公理

顺序公理(axiom of order)是基本的几何公理之一，指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第二组公理，是建立点的位置关系的公理，包括以下四条：1.如果B点介于A和C两点之间，那么A，B，C是一直线上的三个不同的点，并且B也介于C和A之间；2.对于任何不同的A，B两点，在直线AB上至少有一点C，使得B介于A和C之间；3.在一直线上任何不同的三点中，至多有一点介于其余两点之间；4.(帕施公理)设A，B，C是不在同一直线上的三点，a是平面ABC上的一直线，它不通过A，B，C中任何一点，如果a有一点介于A和B之间，那么a必还有一点介于A和C或B和C之间1。

基本介绍顺序公理(axiom of order)亦称“次序公理”，是有关基本元素“点”、“直线”、“平面”有“…介于…之间”介于关系的公理。希尔伯特公理系统的顺序公理是2：

Ⅱ1．若A，B，C是直线a的三个不同点且点B介于A与C之间，那么点B也介于C与A之间。

Ⅱ2．若A和B是直线a的点，那么至少存在一点C，使B介于A与C之间(图1)。

Ⅱ3．在直线a的三点A，B，C中，一点介于其他两点之间的情况不会多于一次。

定义 两点A和B的全体称为线段AB；凡介于A与B之间的点M称为线段的内点，或单称线段的点；点A，B称为线段的端点，而且直线AB的其他的点称为关于线段的外点。

定义 不在同一直线上的三点A，B，C的全体称为三角形，线段AB，BC和CA以及其内点称为这三角形的边，而且点A，B，C称为这三角形的顶点。和CA以及其内点称为这三角形的边，而且点A，B，C称为这三角形的顶点。

公理Ⅱ1-3称为线形的顺序公理，因为这些是与在一直线上的点有关的缘故，与这些联合的还有第四个，平面的顺序公理，通称“巴斯公理”或“帕须公理”，这是按最初明白地把它公式化的几何学家的名字的，是德国数学家巴斯(M.Path，1843-1930)提出，是证明线段存在内点的主要工具。

Ⅱ4(帕须的公理) 设A，B，C是不在一直线上的三点，且a是在平面ABC上而不含有点A，B，C的任何一个。若这时候直线通过线段AB的点，那么它也必通过线段AC的点或通过线段BC的点(图2)。

顺序公理的推论关于直线上的点的顺序的定理，现在转到关于点的顺序的基本定理——顺序公理的推论（更多内容及定理的证明请参考相关书籍）2。

定理 若A和C是直线a的两点，那么在这直线上存在点B，介于A与C之间2。

定理 在一直线上的三点A，B，C之中，仅有一个是介于其他两个之间的。

定理 若有四点在一直线a的上面，那么常常可以用字母A,B,C,D来记这些，使点B介于A和C之间且介于A和D之间，而点C则介于A和D之间且介于B和D之间，用记号改写这事实如下：同时存在这4个关系

定理 从直线的四个不同点A，B，C，D仅有两个(例如B、C)是介于其他两个(A，D)之间的：在这四个成组里，关于“介于”没有一点能够在三次之多的。

定理 一直线的n个不同的点常可附上号码1，2，3，…，n使当ik)时，第j个点要介于第i个和第k个之间。

定理 在各直线a和各线段AD上存在点的无数集。

定理 直线a的各点O划分其所有点为具有下面性质的两区域:

直线a的各点(除了点O)必属于这些区域之一；若点O介于和他不同的任何两点A1和A2之间，则A1和A2属于不同的区域，并且若点O不介于A1和A2之间，则A1和A2属于同一的区域。

定义4 凡使或成立的所有点M的集并此外包括点S本身在内，称为以O为顶点且由其一点S所决定的射线OS。

定理 平面上的直线a把它的上面的点(除了直线a本身所衔接的点而外)分开为具有下面性质的两区域：凡取在不同区域上的两端点A1和A2的任何线段A1A2与直线a常常有共同点B；反之，凡两端点仅属于这些区域中之一的所有线段与直线a没有共同点(图3)。

定义 在通过点S和直线a的平面上，使线段SA1和直线a没有共同点的这种点A1的集合称为以直线a和定点S做边缘的半平面。

定理 平面的各对相交直线a和b划分它的所有点M为具有下面性质的四个区域：凡两端点A和B属于不同区域的任何线段AB和两直线a，b中的至少一条常有共同点，而两端点属于同一区域的线段AA’和直线a，b都没有共同点2。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所